Em um sistema de comunicação digital, a capacidade máxima de transmissão de um canal depende da largura de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Comunicar, para públicos variados, em diversos contextos, resultados de análises, pesquisas e/ou experimentos, elaborando e/ou interpretando textos, gráficos, tabelas, símbolos, códigos, sistemas de classificação e equações, por meio de diferentes linguagens, mídias, tecnologias digitais de informação e comunicação (TDIC), de modo a participar e/ou promover debates em torno de temas científicos e/ou tecnológicos de relevância sociocultural e ambiental.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um sistema de comunicação digital, a capacidade máxima de transmissão de um canal depende da largura de banda e da relação sinal-ruído (SNR). Para um canal com largura de banda B, essa capacidade é dada pelo teorema de Shannon: C = B · log2(1 + SNR), em que C e B devem estar expressos na mesma unidade e a SNR nessa equação é uma razão linear. Quando necessário, a conversão para decibéis é feita por SNR(dB) = 10 · log10(SNR). Uma equipe pretende transmitir dados a 25,0 Mbit/s por um canal de 6,0 MHz. Com base no texto, qual é o menor valor da relação sinal-ruído, expresso em decibéis, que permite essa transmissão?
- A) O SNR mínimo necessário é de aproximadamente 12,5 dB.
- B) O SNR mínimo necessário é de aproximadamente 30,0 dB.
- C) O SNR mínimo necessário é de aproximadamente 16,96 dB.
- D) O SNR mínimo necessário é de aproximadamente 12,3 dB.
- E) O SNR mínimo necessário é de aproximadamente 6,2 dB.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. C = 25,0 Mbit/s e B = 6,0 MHz. Como as unidades devem ser iguais, C/B = 25,0/6,0 = 4,1667 bit/s por Hz. Passo 2: Isole a SNR linear na fórmula de Shannon. C = B · log2(1 + SNR) implica log2(1 + SNR) = C/B, logo 1 + SNR = 2^(C/B) = 2^4,1667. Passo 3: Calcule 2^4,1667. Como 2^4 = 16 e 2^0,1667 é aproximadamente 1,1225, temos 2^4,1667 ≈ 17,96. Assim, SNR linear = 17,96 - 1 ≈ 16,96. Passo 4: Converta para decibéis com SNR(dB) = 10 · log10(16,96) ≈ 10 · 1,2294 ≈ 12,3 dB. Passo 5: Conclusão. O menor SNR que permite a transmissão é cerca de 12,3 dB, o que corresponde à alternativa D, em concordância com o gabarito oficial. A alternativa C traz o valor linear (16,96), que não está em decibéis, por isso está errada. A alternativa A (12,5 dB) está próxima, mas deriva de um arredondamento ou cálculo impreciso. A alternativa B (30,0 dB) corresponde a uma razão linear de cerca de 1000, muito acima do necessário. A alternativa E (6,2 dB) corresponde à conversão de C/B = 4,17 em decibéis, sem aplicar a operação 2^x.
💡 Dica: Utilize a fórmula de Shannon para calcular o SNR.
Alternativa por alternativa
Provavelmente fez o cálculo de 2^(C/B) ou do logaritmo com arredondamento excessivo ou erro aritmético, chegando a um valor de SNR linear um pouco maior que 17,96 e, portanto, a um dB um pouco acima de 12,3.
Por que engana: Confundir a relação entre largura de banda e taxa de transmissão, resultando em um cálculo incorreto do SNR necessário.
Provavelmente tratou a razão 25/6 ou a capacidade em Mbit/s como se fosse a própria SNR, ou aplicou a exponenciação de forma errada, obtendo uma razão linear próxima de 1000, que corresponde a 30 dB.
Calculou corretamente a SNR linear (16,96), mas esqueceu de converter para decibéis, entendendo que o valor linear já é a resposta pedida em dB.
Aplicando o teorema de Shannon: 25,0 = 6,0 · log₂(1 + SNR). Assim, log₂(1 + SNR) = 25,0/6,0 ≈ 4,1667. Portanto, 1 + SNR = 2^4,1667 ≈ 17,96, e SNR ≈ 16,96 na forma linear. Convertendo para decibéis: SNR(dB) = 10 · log₁₀(16,96) ≈ 12,3 dB.
Usou C/B = 4,17 como se fosse a SNR linear e a converteu para dB (10 · log10(4,17) ≈ 6,2), esquecendo a operação 2^(C/B) - 1 exigida pela fórmula de Shannon.
Raio-X da questão
teorema de Shannon
avaliacao
teorema de Shannon · logaritmo na base 2
Revisar a relação entre largura de banda, taxa de transmissão e SNR.
Confundir a relação entre largura de banda e taxa de transmissão, resultando em um cálculo incorreto do SNR necessário.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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