Um patinador percorre uma curva urbanizada inclinada sem atrito com raio R = 4,0 m e velocidade v = 5,0 m/s…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e representar, com ou sem o uso de dispositivos e de aplicativos digitais específicos, as transformações e conservações em sistemas que envolvam quantidade de matéria, de energia e de movimento para realizar previsões sobre seus comportamentos em situações cotidianas e em processos produtivos que priorizem o desenvolvimento sustentável, o uso consciente dos recursos naturais e a preservação da vida em todas as suas formas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um patinador percorre uma curva urbanizada inclinada sem atrito com raio R = 4,0 m e velocidade v = 5,0 m/s. Qual deve ser o ângulo de inclinação ? da pista para que a componente horizontal da força normal forneça a força centrípeta sem auxílio do atrito? Use tan? = v²/(R·g) e g = 10 m/s². Calcule ? em graus.
- A) tan? = R/v² ? ? ˜ 45°
- B) tan? = 0,5 ? ? ˜ 26,6°
- C) tan? = v²/(R·2g) ? ? ˜ 16,7°
- D) tan? = v²/(R·g) = 25/(4·10) = 0,625 ? ? ˜ arctan(0,625) ˜ 32,0°.
- E) ? = 0°; não precisa de inclinação
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Na curva sem atrito, a única força que pode fornecer a força centrípeta é a componente horizontal da normal N. Decompondo N em relação à vertical, a componente horizontal é N·sen(theta) e a vertical é N·cos(theta), que equilibra o peso: N·cos(theta) = m·g. A componente horizontal é a centrípeta: N·sen(theta) = m·v²/R. Dividindo uma equação pela outra, tan(theta) = v²/(R·g). O símbolo do ângulo aparece corrompido no enunciado, mas a fórmula dada indica que se trata de theta.
- Substituir os valores. v² = 5,0² = 25 m²/s². R·g = 4,0 × 10 = 40 m²/s². Logo tan(theta) = 25/40 = 0,625.
- Calcular o ângulo. theta = arctan(0,625) ≈ 32,0°, pois tan(32°) ≈ 0,625. A alternativa D é a correta.
- Por que as outras estão erradas. A: a razão está invertida (R/v² = 0,16) e não corresponde a tan(45°) = 1. B: o valor 0,5 não é 0,625, então o cálculo numérico está incorreto. C: o fator 2 em g não aparece na fórmula, e a conta daria um ângulo menor que 17°. E: sem inclinação, a normal é vertical e não tem componente horizontal, então a força centrípeta não seria fornecida.
- Conclusão. Resolvendo por conta própria, encontrei tan(theta) = 0,625 e theta ≈ 32°, o que confere com o gabarito oficial D.
💡 Dica: Aplique a fórmula dada para encontrar o ângulo.
Alternativa por alternativa
Inverteu a razão da fórmula, escrevendo tan(theta) = R/v² em vez de v²/(R·g). Também ignorou que a expressão final não corresponde a 45°.
Chegou ao valor 0,5 em vez de 0,625 ao calcular 25/40, ou aproximou o resultado de forma errada antes de tomar o arctan.
Por que engana: Confundir a relação entre a força centrípeta e a inclinação da pista, utilizando a fórmula errada para calcular o ângulo.
Acrescentou um fator 2 indevido ao denominador, como se a gravidade fosse 2g, o que não consta na fórmula nem no enunciado.
Para movimento circular sem atrito, N·sin? = m·v²/R e N·cos? = m·g; dividindo obtém tan? = v²/(R·g). Substituindo v,R,g obtém ? ˜ 32,0°.
Acredita que a pista plana basta, por intuição do dia a dia, sem perceber que a normal inclinada precisa ter componente horizontal para dar a força centrípeta.
Raio-X da questão
força centrípeta
avaliacao
força centrípeta · movimento circular
Revisar a relação entre força centrípeta e ângulo de inclinação.
Confundir a relação entre a força centrípeta e a inclinação da pista, utilizando a fórmula errada para calcular o ângulo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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