Considere um bastão vertical de h = 1,00 m em solo horizontal (+x leste, +y norte). As funções temporais são…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e representar, com ou sem o uso de dispositivos e de aplicativos digitais específicos, as transformações e conservações em sistemas que envolvam quantidade de matéria, de energia e de movimento para realizar previsões sobre seus comportamentos em situações cotidianas e em processos produtivos que priorizem o desenvolvimento sustentável, o uso consciente dos recursos naturais e a preservação da vida em todas as suas formas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere um bastão vertical de h = 1,00 m em solo horizontal (+x leste, +y norte). As funções temporais são ?(t)=50°-0,1°·t e f(t)=90°+0,5°·t (t em minutos). Determine as equações paramétricas x(t),y(t) da ponta da sombra, calcule velocidade e curvatura no instante t=0 e interprete os resultados para público leigo e técnico. Use radianos ao derivar.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Modelo: s(t)=h·cot?(t); x=s·cosf, y=s·sinf. Converter taxas: d?/dt=-0,1°/min=-0,0017453 rad/min; df/dt=0,5°/min=0,00872665 rad/min. Em t=0: ?=50°, f=90°. s0=1·cot50°˜0,8391 m. ds/dt = -h·csc²?·d?/dt ˜ -1·1,704·(-0,0017453) =0,002974 m/min. Derivadas: x' = ds/dt·cosf - s·sinf·df/dt = -s·df/dt ˜ -0,007322 m/min; y' = ds/dt·sinf + s·cosf·df/dt = ds/dt ˜0,002974 m/min. Velocidade |v|=v(x'²+y'²)˜0,007902 m/min =1,32×10?4 m/s. Segundas derivadas (com d²?/dt²=d²f/dt²=0) dão x''˜-5,19×10?5 m/min² e y''˜-5,52×10?5 m/min². Curvatura ? = |x' y'' - y' x''|/(x'²+y'²)^{3/2} ˜1,13 m?1 ? raio R=1/?˜0,885 m. Interpretação leiga: no instante inicial a ponta da sombra desloca-se lentamente em direção noroeste com velocidade ˜1,3×10?4 m/s; muda de direção com raio de curvatura ˜0,9 m. Interpretação técnica: equações paramétricas fornecem trajetória r(t); as derivadas indicam componente angular (df/dt) dominante no deslocamento lateral e a variação de elevação (d?/dt) alonga/encurta s; curvatura ?˜1,13 m?1 quantifica a curvatura instantânea da trajetória da ponta da sombra.
Explicação
A solução apresenta as equações paramétricas que descrevem a trajetória da ponta da sombra, utilizando as funções angulares dadas. As derivadas calculadas fornecem a velocidade e a curvatura da trajetória no instante inicial, permitindo entender o movimento da sombra em termos de deslocamento e mudança de direção. A interpretação leiga e técnica contextualiza os resultados, facilitando a compreensão tanto para o público geral quanto para especialistas.
Raio-X da questão
movimento de sombra
avaliacao
derivadas e integrais · movimento retilíneo uniforme
Revisar derivadas e equações paramétricas em movimento.
O aluno pode confundir as funções angulares e não aplicar corretamente as derivadas para encontrar as equações paramétricas.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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