Considere o tetraedro com vértices A(0,0,0), B(4,0,0), C(0,3,0) e D(0,0,2). (a) Determine as projeções…

Questão

Considere o tetraedro com vértices A(0,0,0), B(4,0,0), C(0,3,0) e D(0,0,2). (a) Determine as projeções ortogonais de A, B, C, D nos planos XY, XZ e YZ, listando as coordenadas 2D de cada projeção. (b) Calcule a área da projeção no plano XY e compare com as áreas das projeções nos planos XZ e YZ; diga qual projeção tem maior área e justifique.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Projeções (dropar a coordenada perpendicular ao plano): - Plano XY (z=0): A?(0,0), B?(4,0), C?(0,3), D?(0,0) (D coincide com A). A projeção é o triângulo com vértices (0,0),(4,0),(0,3). ÁreaXY = (1/2)·4·3 = 6. - Plano XZ (y=0): A?(0,0), B?(4,0), C?(0,0), D?(0,2) (C coincide com A). A projeção é o triângulo com vértices (0,0),(4,0),(0,2). ÁreaXZ = (1/2)·4·2 = 4. - Plano YZ (x=0): A?(0,0), B?(0,0), C?(3,0), D?(0,2) (B coincide com A). A projeção é o triângulo com vértices (0,0),(3,0),(0,2). ÁreaYZ = (1/2)·3·2 = 3. Conclusão: a projeção no plano XY tem a maior área (6 > 4 > 3) porque os comprimentos projetados ao longo dos eixos x e y (4 e 3) são os maiores pares de medidas presentes nos vértices dados.

Explicação

As projeções ortogonais nos planos XY, XZ e YZ foram obtidas ao eliminar a coordenada perpendicular a cada plano, resultando em triângulos cujas áreas foram calculadas com base nas bases e alturas correspondentes. A comparação das áreas revela que a projeção no plano XY é a maior devido às dimensões máximas dos vértices em relação aos eixos x e y, enquanto as projeções nos outros planos apresentam dimensões menores. Essa análise das áreas reflete a disposição geométrica dos vértices do tetraedro em relação aos planos.

Raio-X da questão

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