No plano cartesiano, sejam A(1,2), B(5,-1) e C(9,4). Seja M o ponto médio de AC. Sem usar fórmulas prontas…

Questão

No plano cartesiano, sejam A(1,2), B(5,-1) e C(9,4). Seja M o ponto médio de AC. Sem usar fórmulas prontas, determine: a) as coordenadas de M; b) a distância |AB|; c) o ponto D tal que ABCD é um paralelogramo (ordenado A,B,C,D); d) o perímetro e a área do paralelogramo. Apresente todos os passos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) M é o ponto entre A e C: x_M está entre 1 e 9 e y_M entre 2 e 4, na mesma distância de cada extremo; x_M=(1+9)/2=5, y_M=(2+4)/2=3 ? M(5,3). b) Vetor AB = (5-1, -1-2)=(4,-3). Distância |AB|=v(4²+(-3)²)=v(16+9)=v25=5. c) Em paralelogramo A+C = B+D, logo D = A+C-B = (1+9-5,2+4-(-1))=(5,7). d) Comprimentos: AB=5 (já), BC=C-B=(4,5) ? |BC|=v(4²+5²)=v41. Em paralelogramo, lados opostos iguais ? CD=5 e AD=v41. Perímetro = 2(5+v41)=10+2v41. Área = valor absoluto do determinante dos vetores AB e AD: AB=(4,-3), AD=D-A=(4,5). det = 4·5-(-3)·4=20+12=32 ? área = 32 u.a.

Explicação

A determinação das coordenadas do ponto médio M é feita ao calcular a média aritmética das coordenadas de A e C, garantindo que M esteja equidistante de ambos os pontos. A distância entre os pontos A e B é obtida utilizando o teorema de Pitágoras, considerando as diferenças das coordenadas. Para encontrar o ponto D e calcular o perímetro e a área do paralelogramo, utiliza-se a propriedade de que as diagonais se bissetam e o determinante dos vetores formados pelos lados do paralelogramo, respectivamente.

Raio-X da questão

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