No plano cartesiano, sejam A(-1,2), B(5,5) e C(4,-3). a) Determine os pontos médios dos lados AB, BC e CA. b)…

Questão

No plano cartesiano, sejam A(-1,2), B(5,5) e C(4,-3). a) Determine os pontos médios dos lados AB, BC e CA. b) Calcule a área do triângulo ABC e a área do triângulo formado pelos três pontos médios, mostrando que a segunda é um quarto da primeira. Apresente todos os cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Pontos médios: M_AB = ((-1+5)/2,(2+5)/2) = (2,3.5); M_BC = ((5+4)/2,(5+(-3))/2) = (4.5,1); M_CA = ((4+(-1))/2,(-3+2)/2) = (1.5,-0.5). 2) Área de ABC por regra do polígono (shoelace): usando A(-1,2),B(5,5),C(4,-3): soma1 = (-1)*5 + 5*(-3) + 4*2 = -5 -15 +8 = -12; soma2 = 2*5 + 5*4 + (-3)*(-1) = 10 +20 +3 = 33; diferença = |soma1 - soma2| = |-45| = 45; área ABC = 45/2 = 22,5. 3) Área do triângulo dos pontos médios usando M_AB(2,3.5), M_BC(4.5,1), M_CA(1.5,-0.5): soma1 = 2*1 + 4.5*(-0.5) + 1.5*3.5 = 2 -2.25 +5.25 = 5; soma2 = 3.5*4.5 + 1*1.5 + (-0.5)*2 = 15.75 +1.5 -1 = 16.25; diferença = |5 - 16.25| = 11.25; área medial = 11.25/2 = 5.625. 4) Conclusão: 5.625 = 22.5/4, logo a área do triângulo formado pelos pontos médios é um quarto da área de ABC. (Todos os passos usam médias de coordenadas e o cálculo de área por determinante/"shoelace".)

Explicação

Os pontos médios dos lados do triângulo são calculados pela média das coordenadas dos vértices, o que garante que suas posições estão corretamente determinadas. A área do triângulo original é obtida pela fórmula do determinante, e a área do triângulo formado pelos pontos médios é sempre um quarto da área do triângulo original, devido à semelhança entre os triângulos e à proporção das suas dimensões. Assim, a relação entre as áreas é demonstrada através dos cálculos apresentados, confirmando a propriedade geométrica.

Raio-X da questão

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