Dado s>0, determine o raio R da circunferência circunscrita a um polígono regular de n = 10 lados em função de…

Questão

Dado s>0, determine o raio R da circunferência circunscrita a um polígono regular de n = 10 lados em função de s.

1. A) R = s / (2 sin(2p/10))
2. B) R = s / (3 sin(p/10))
3. C) R = s / (sin(p/10))
4. D) R = s / (2 sin(p/10))
5. E) R = s / (2 cos(p/10))

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Ligue o centro O da circunferência a dois vértices consecutivos A e B do decágono. Forma-se o triângulo isósceles OAB, com OA = OB = R e AB = s. O ângulo central AOB mede 360/10 = 36 graus, ou seja, 2pi/10 radianos. Passo 2: Trace a altura de O até o ponto médio M de AB. Ela divide o triângulo OAB em dois triângulos retângulos iguais, em que o ângulo em O mede metade de 36 graus, isto é, pi/10 (18 graus). Passo 3: No triângulo retângulo OMA, o cateto oposto ao ângulo pi/10 é AM = s/2 e a hipotenusa é OA = R. Logo sen(pi/10) = (s/2)/R, o que dá s = 2R sen(pi/10) e, portanto, R = s/(2 sen(pi/10)). Passo 4: Conferindo numericamente, sen(18 graus) é aproximadamente 0,309, então R é aproximadamente s/0,618, ou seja, R é aproximadamente 1,618 s. Esse valor é coerente com o decágono regular. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa A usa o ângulo central inteiro 2pi/10 em vez da metade; a alternativa B coloca um fator 3 que não aparece na geometria; a alternativa C esquece o fator 2, já que o lado é o dobro do cateto AM; a alternativa E usa cosseno no lugar de seno, função que não relaciona o lado com o raio neste triângulo. Conclusão: a alternativa correta é a D, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Utilize a fórmula do raio da circunferência circunscrita.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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