Na base de um prisma reto, o triângulo ABC tem base BC = 24 cm e altura relativa a BC igual a 18 cm. No lado…

Questão

Na base de um prisma reto, o triângulo ABC tem base BC = 24 cm e altura relativa a BC igual a 18 cm. No lado AB marca-se D tal que AD:DB = 1:2. Através de D traça-se DE ? BC, com E em AC, formando o triângulo ADE. Dois prismas retos com a mesma altura H = 30 cm têm bases ABC e ADE. Mostre que ADE ~ ABC e calcule a área da base ADE, o volume do prisma de base ADE e a razão entre os volumes.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

AD:DB = 1:2 ? AD = (1/3)·AB, logo a razão linear entre ADE e ABC é k = AD/AB = 1/3. Como DE ? BC, ADE ~ ABC. 2) Área(ABC) = (BC·altura)/2 = (24·18)/2 = 216 cm². 3) Área(ADE) = k²·Área(ABC) = (1/3)²·216 = (1/9)·216 = 24 cm². 4) Volume do prisma de base ADE: V = Área(ADE)·H = 24·30 = 720 cm³. 5) Razão entre volumes = razão entre áreas das bases = k² = 1/9 (logo V_ADE : V_ABC = 1:9).

Explicação

A relação AD:DB = 1:2 implica que a base do triângulo ADE é proporcional à base do triângulo ABC, resultando em uma razão linear de 1/3. Isso leva à conclusão de que os triângulos são semelhantes, permitindo o cálculo da área de ADE como um nono da área de ABC. O volume do prisma de base ADE é um nono do volume do prisma de base ABC, refletindo diretamente a razão entre as áreas das bases.

Raio-X da questão

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