Defina a sequência (a_n) por a_1 = 5 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 6²). (a) Prove que a_n² = 25 + 36(n-1)…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Defina a sequência (a_n) por a_1 = 5 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 6²). (a) Prove que a_n² = 25 + 36(n-1). (b) Use essa fórmula para calcular a_5.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Eleve a relação: a_{n+1}² = a_n² + 36. Isto implica diferença constante entre quadrados; por recorrência a_n² = a_1² + 36(n-1) = 25 + 36(n-1). Para n=5: a_5² = 25 + 36·4 = 25+144 =169, logo a_5 = 13.
Explicação
A relação entre os termos da sequência foi estabelecida ao elevar ambos os lados da equação inicial, resultando em uma diferença constante de 36 entre os quadrados dos termos consecutivos. Isso permitiu deduzir a fórmula geral para a_n², que foi utilizada para calcular a_5. O cálculo final confirma que a_5 é igual a 13, seguindo a fórmula derivada.
Raio-X da questão
sequência numérica
avaliacao
sequencias numericas · potenciacao e radiciacao
Revisar propriedades de sequências e fórmulas de recorrência.
O aluno pode confundir a operação de soma com a multiplicação ao tentar simplificar a expressão da sequência, levando a um resultado incorreto.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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