Do solo, a um ponto P vê-se o topo de uma torre com ângulo de elevação 30°. Ao aproximar 10 m em direção à…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Do solo, a um ponto P vê-se o topo de uma torre com ângulo de elevação 30°. Ao aproximar 10 m em direção à torre, o ângulo passa a 45°. Calcule a altura da torre.
- A) h = 10 m
- B) h = 15 m
- C) h = 30 m
- D) h = 20 m
- E) h = 5(1+v3) m.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Chame de d a distância inicial do ponto P até a base da torre e de h a altura da torre. Como o observador se aproxima 10 m, a distância após a aproximação é d - 10.
- Na posição inicial, tan(30°) = h/d, logo h = d/raiz de 3 (tan 30° = raiz de 3/3).
- Na posição final, tan(45°) = 1, logo h = d - 10.
- Igualando as duas expressões para h: d/raiz de 3 = d - 10, então d(1 - 1/raiz de 3) = 10, o que dá d = 10 raiz de 3/(raiz de 3 - 1) = 5(3 + raiz de 3) = 15 + 5 raiz de 3.
- Substituindo em h = d - 10, obtém-se h = 5 + 5 raiz de 3 = 5(1 + raiz de 3) metros, que é a alternativa E.
- Verificação: d é aproximadamente 23,66 m e d/raiz de 3 é aproximadamente 13,66 m; d - 10 também é aproximadamente 13,66 m, então os dois valores coincidem.
- Por que as outras estão erradas: A (h = 10 m) confunde a altura com o deslocamento de 10 m; B (h = 15 m) pega apenas uma parcela de d; C (h = 30 m) não corresponde a nenhuma relação correta entre as tangentes; D (h = 20 m) não satisfaz simultaneamente as duas condições de ângulo.
- Conclusão: o gabarito oficial E está correto.
💡 Dica: Represente as distâncias horizontais e use a tangente dos ângulos para montar duas equações.
Alternativa por alternativa
Assume que a altura da torre é igual ao deslocamento de 10 m feito pelo observador, misturando a distância percorrida com a altura.
Por que engana: O aluno pode considerar que a distância inicial até a torre é 10 m, sem perceber que os 10 m correspondem apenas ao deslocamento entre os dois pontos de observação.
Toma a distância inicial ou uma parcela do cálculo como sendo a própria altura, sem resolver o sistema formado pelas duas condições de ângulo.
Inverte ou mal aplica a relação trigonométrica (usando 30 como fator multiplicador ou confundindo tangente com cotangente), o que leva a um valor de altura incoerente com os ângulos dados.
Supõe que a altura é o dobro do deslocamento de 10 m, tratando o triângulo como se tivesse proporções simples sem usar a tangente de 30° e de 45°.
Seja d a distância inicial; tan30 = h/d = 1/v3 ? h = d/v3. Ao aproximar 10 m, tan45 = h/(d-10) =1 ? h = d-10. Igualando: d/v3 = d-10 ? d = 15+5v3. Então h = d-10 = 5+5v3 = 5(1+v3) m.
Raio-X da questão
Trigonometria no triângulo retângulo
avaliacao
Razões trigonométricas no triângulo retângulo · Resolução de equações lineares
Revise a razão tangente e a resolução de equações com duas incógnitas em problemas de altura e distância.
O aluno pode considerar que a distância inicial até a torre é 10 m, sem perceber que os 10 m correspondem apenas ao deslocamento entre os dois pontos de observação.
tomada_decisao
cotidiano
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