Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, a altura CD sobre a hipotenusa AB divide AB em AD = 8 cm e…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas envolvendo medidas das grandezas comprimento, área, massa, tempo, temperatura e capacidade, recorrendo a transformações entre as unidades mais usuais em contextos socioculturais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, a altura CD sobre a hipotenusa AB divide AB em AD = 8 cm e DB = 18 cm. a) Determine os comprimentos dos catetos AC e BC (em forma radical). b) Calcule a altura CD. Apresente todos os passos e justificativas matemáticas.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Solução modelo: 1) Hipotenusa AB = AD + DB = 8 + 18 = 26 cm. 2) Pelas propriedades da altura em triângulo retângulo, os catetos satisfazem: AC² = AB·AD e BC² = AB·DB. Logo AC² = 26·8 = 208 ? AC = v208 = 4v13 cm. BC² = 26·18 = 468 ? BC = v468 = 6v13 cm. 3) A altura CD pode ser obtida por CD² = AD·DB (ou CD = (AC·BC)/AB): CD² = 8·18 = 144 ? CD = v144 = 12 cm. 4) Conclusão: AC = 4v13 cm, BC = 6v13 cm e CD = 12 cm. Justifique cada passo usando semelhança entre triângulos formados pela altura e as relações de projeção na hipotenusa.
Explicação
A solução utiliza propriedades de triângulos retângulos, como a relação entre os catetos e a hipotenusa, além da fórmula da altura em relação à hipotenusa, que são fundamentais para encontrar os comprimentos desejados. A aplicação correta dessas propriedades garante que os cálculos dos catetos e da altura estejam em conformidade com as relações geométricas do triângulo. A justificativa por meio da semelhança de triângulos e projeções na hipotenusa reforça a validade dos resultados obtidos.
Raio-X da questão
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avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades do triângulo retângulo
Revisar o Teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo e aplicar o teorema de Pitágoras de forma incorreta, resultando em valores errados para os catetos.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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