Seja ABC com AB = 3t+1 e AC = 5t-1 e DEF com DE = 14 e DF = 22. Sabendo que ?A = ?D, determine t e diga se ABC…

Questão

Seja ABC com AB = 3t+1 e AC = 5t-1 e DEF com DE = 14 e DF = 22. Sabendo que ?A = ?D, determine t e diga se ABC é semelhante a DEF; indique a razão.

1. A) t = 10, razão de semelhança é 1.
2. B) DEF não é um triângulo válido devido a lados não proporcionais.
3. C) t = 9; ABC ~ DEF com razão 2.
4. D) t = 5, então ABC é semelhante a DEF com razão 3.
5. E) ABC não pode ser semelhante a DEF porque t não é um número inteiro.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Como o ângulo A é igual ao ângulo D, para que os triângulos sejam semelhantes pelo critério LAL os lados que formam esses ângulos precisam ser proporcionais: AB/DE = AC/DF. Passo 2: Substituindo os valores, (3t+1)/14 = (5t-1)/22. Passo 3: Multiplicando em cruz, 22(3t+1) = 14(5t-1), ou seja, 66t + 22 = 70t - 14. Passo 4: Isolando t, 22 + 14 = 70t - 66t, logo 36 = 4t e t = 9. Passo 5: Com t = 9, AB = 3(9)+1 = 28 e AC = 5(9)-1 = 44. Passo 6: Verificando: AB/DE = 28/14 = 2 e AC/DF = 44/22 = 2. As razões são iguais, então ABC é semelhante a DEF, com razão de semelhança 2 (lados de ABC em relação aos lados de DEF). Passo 7: Por que as outras estão erradas: A) com t = 10, os lados seriam 31 e 49, que não são proporcionais a 14 e 22; B) DEF é um triângulo válido, pois a questão apenas fornece dois lados e o ângulo D, e o erro é tentar exigir proporcionalidade entre os lados de DEF e não entre ABC e DEF; D) com t = 5, os lados seriam 16 e 24, cuja razão 16/14 não é igual a 24/22, portanto não há semelhança com razão 3; E) t não precisa ser inteiro para haver semelhança; a semelhança depende só da proporcionalidade dos lados, e aqui t = 9 resulta em valores inteiros de qualquer forma. Conclusão: t = 9, ABC é semelhante a DEF e a razão é 2, como indica a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Iguale os lados correspondentes e resolva a equação para t.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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