Em ABC e DEF tem-se AB = 3x - 2, AC = 5x + 1, DE = 10, DF = 20 e ?A = ?D. Determine x, a razão entre os…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em ABC e DEF tem-se AB = 3x - 2, AC = 5x + 1, DE = 10, DF = 20 e ?A = ?D. Determine x, a razão entre os triângulos e conclua se ABC ~ DEF.
- A) x = 5; razão = 13/10; sim, ABC ~ DEF por SAS de semelhança.
- B) A razão entre lados correspondentes é 2:1.
- C) Os triângulos não são semelhantes porque não possuem ângulos iguais.
- D) As razões dos lados não formam fração, logo a semelhança é inválida.
- E) Os triângulos apenas são semelhantes se todos os lados forem iguais.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Interpretar os dados. Supõe-se a correspondência natural A corresponde a D, B a E e C a F, já que os lados AB e AC são os que formam o ângulo A e DE e DF são os que formam o ângulo D. Como ?A = ?D, o ângulo é igual e os lados que o formam são proporcionais ou não, conforme os valores. Passo 2: Montar a proporção. Para que os triângulos sejam semelhantes pelo critério LAL (lado-ângulo-lado), é preciso que AB/DE = AC/DF. Assim, (3x - 2)/10 = (5x + 1)/20. Passo 3: Resolver a equação. Multiplicando cruzado: 20(3x - 2) = 10(5x + 1), ou seja, 60x - 40 = 50x + 10, logo 10x = 50 e x = 5. Passo 4: Calcular os lados. AB = 3(5) - 2 = 13 e AC = 5(5) + 1 = 26. Passo 5: Calcular a razão. AB/DE = 13/10 e AC/DF = 26/20 = 13/10. As duas razões são iguais a 13/10, portanto a razão entre os triângulos é 13/10. Passo 6: Concluir a semelhança. Há um ângulo igual (?A = ?D) formado por lados proporcionais (critério LAL, também chamado SAS), logo ABC ~ DEF. Passo 7: Analisar as demais alternativas. B está errada porque a razão entre os lados de um mesmo triângulo (20 por 10) não é a razão entre triângulos. C está errada porque ignora o ângulo igual dado no enunciado, que basta junto com a proporcionalidade dos lados. D está errada porque 13/10 é uma fração perfeitamente válida e a semelhança é válida. E está errada porque semelhança não exige lados iguais, apenas proporcionais; lados iguais caracterizariam congruência. A alternativa A é a única correta, em conformidade com o gabarito oficial.
💡 Dica: Resolva a equação para encontrar x e verifique a semelhança dos triângulos.
Alternativa por alternativa
Igualando as razões dos lados que formam os ângulos iguais: (3x-2)/10 = (5x+1)/20 ? 20(3x-2)=10(5x+1) ? x=5. Substituindo obtém-se AB/DE = AC/DF = 13/10; com ?A=?D, aplica-se SAS ? semelhança.
Confunde a razão entre os lados de um mesmo triângulo (DF/DE = 20/10 = 2) com a razão entre lados correspondentes de triângulos diferentes, que é o que a questão pede.
Por que engana: Confundir a razão entre os lados correspondentes, não aplicando corretamente a relação de semelhança entre os triângulos.
Ignora a hipótese ?A = ?D dada no enunciado e acredita que a semelhança exige a verificação explícita de todos os ângulos, sem perceber que um ângulo igual com lados proporcionais já basta pelo critério LAL.
Acredita que uma razão só é válida se resultar em número inteiro ou se não aparecer como fração, o que é um senso comum sem fundamento na definição de semelhança.
Confunde semelhança com congruência, imaginando que triângulos semelhantes precisam ter todos os lados de mesma medida, quando basta que os lados sejam proporcionais.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos
avaliacao
semelhança de triângulos · propriedades dos triângulos
Revisar as propriedades de semelhança de triângulos e resolução de equações.
Confundir a razão entre os lados correspondentes, não aplicando corretamente a relação de semelhança entre os triângulos.
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pensamento_critico
cientifico
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