De um ponto externo T partem duas secantes que interceptam a circunferência nos pontos A,B e C,D com TA = x…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
De um ponto externo T partem duas secantes que interceptam a circunferência nos pontos A,B e C,D com TA = x cm, TB = x+6, TC = 2x-1 e TD = 4x+3. Sabendo que TA·TB = TC·TD, determine x e o valor de TB.
- A) x = 2 cm; TB = 8 cm
- B) x = 0 cm; TB = 6 cm
- C) x = 5 cm; TB = 11 cm
- D) x = 1 cm; TB = 7 cm
- E) x = 3 cm; TB = 9 cm
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Pelo teorema das secantes, quando duas secantes partem do mesmo ponto externo T, vale TA·TB = TC·TD. Passo 2: Substituindo os dados: x(x+6) = (2x-1)(4x+3). Passo 3: Desenvolvendo o lado esquerdo, x^2+6x. Desenvolvendo o lado direito, 8x^2+6x-4x-3 = 8x^2+2x-3. Passo 4: Igualando e passando tudo para um lado: x^2+6x = 8x^2+2x-3, logo 0 = 7x^2-4x-3, ou seja, 7x^2-4x-3 = 0. Passo 5: Pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é Delta = 16+84 = 100, com raiz quadrada igual a 10. Assim x = (4+10)/14 = 1 ou x = (4-10)/14 = -3/7. Passo 6: Como são comprimentos, x precisa ser positivo e TC = 2x-1 também precisa ser positivo; apenas x = 1 atende (com x = -3/7, TA seria negativo). Passo 7: Com x = 1, TA = 1 cm, TB = 7 cm, TC = 1 cm e TD = 7 cm. Conferindo: 1·7 = 7 e 1·7 = 7, a igualdade vale. Além disso, AB = 6 e CD = 6, o que é coerente com as cordas. Passo 8: Portanto x = 1 cm e TB = 7 cm, alternativa D, que coincide com o gabarito oficial. Passo 9: Por que as outras estão erradas: A (x = 2) dá 2·8 = 16 e 3·11 = 33, não são iguais; B (x = 0) dá TC negativo e 0 diferente de -3; C (x = 5) dá 5·11 = 55 e 9·23 = 207; E (x = 3) dá 3·9 = 27 e 5·15 = 75.
💡 Dica: Iguale os produtos TA·TB e TC·TD e resolva a equação.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente testou valores inteiros pequenos sem verificar a igualdade completa, ou resolveu a equação de forma incorreta e chegou a x = 2 por erro de sinal ou de cálculo do discriminante.
O aluno pode ter aceitado x = 0 sem checar: nesse caso TB = 6 e TA = 0, o que não faz sentido geométrico, pois TA é um comprimento positivo e TC = 2x-1 ficaria negativo.
O aluno provavelmente errou ao desenvolver o produto (2x-1)(4x+3), esquecendo termos ou trocando sinais, e assim chegou a uma equação falsa que aceitou x = 5.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os segmentos, aplicando incorretamente a propriedade das secantes e resultando em uma equação errada.
Equação: x(x+6) = (2x-1)(4x+3). Expande: x^2+6x = 8x^2+2x-3 ? 7x^2-4x-3=0. ?=100 ? x=(4±10)/14 ? x=1 (descartar negativo). Então TB=1+6=7 cm.
O aluno pode ter chutado valores próximos ou escolhido x = 3 por confundir a soma dos segmentos com o produto, ou por erro na expansão dos termos, sem verificar a igualdade TA·TB = TC·TD.
Raio-X da questão
propriedade das secantes
avaliacao
propriedade das secantes · equações do 1º grau
Revisar a propriedade das secantes em relação a circunferências.
O aluno pode confundir a relação entre os segmentos, aplicando incorretamente a propriedade das secantes e resultando em uma equação errada.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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