Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem. Sabe-se que os arcos menores AB…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem. Sabe-se que os arcos menores AB e CD têm ambas a medida 2x + 10°. O arco BC mede x + 20° e o arco DA mede x + 2°. (a) Determine x e as medidas dos quatro arcos menores. (b) Mostre que os triângulos inscritos ?ABC e ?CDA são semelhantes e determine a razão AB:CD.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
a) Soma dos arcos: 2(2x+10)+(x+20)+(x+2)=360 ? 4x+20+x+20+x+2=360 ? 6x+42=360 ? 6x=318 ? x=53. Então m(AB)=m(CD)=2·53+10=116°; m(BC)=53+20=73°; m(DA)=53+2=55°. b) Ângulo inscrito que vê o arco AB é ?ACB; ângulo inscrito que vê o arco CD é ?CAD. Como m(arc AB)=m(arc CD), tem-se ?ACB = ?CAD. Além disso, ?ABC e ?CDA são ângulos suplementares aos mesmos arcos correspondentes ou podem ser confrontados por suas posições; portanto ?ABC e ?CDA têm dois ângulos congruentes e são semelhantes. Como arcos AB e CD são congruentes, as cordas correspondentes são congruentes; logo AB:CD = 1:1.
Explicação
A soma dos ângulos em uma circunferência é sempre 360°, o que justifica a equação montada para encontrar o valor de x. A semelhança dos triângulos se baseia na congruência dos ângulos formados pelos arcos iguais, levando à conclusão de que os lados correspondentes também são iguais. Assim, a razão entre os segmentos AB e CD é 1:1, confirmando a congruência das cordas.
Raio-X da questão
arcos de circunferência
avaliacao
propriedades de arcos · semelhança de triângulos
Revisar as propriedades dos arcos e triângulos inscritos em circunferências.
O aluno pode confundir as medidas dos arcos e não aplicar corretamente a relação de semelhança entre os triângulos.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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