Seja uma circunferência de centro O e duas cordas AB e CD congruentes (AB = CD). Prove que os arcos…

Questão

Seja uma circunferência de centro O e duas cordas AB e CD congruentes (AB = CD). Prove que os arcos correspondentes têm a mesma medida e que os triângulos centrais AOB e COD são congruentes. Em seguida, explique por que quaisquer ângulos inscritos que subtendem esses arcos também são iguais.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Se AB = CD então as distâncias das cordas ao centro O são iguais; assim, os raios perpendiculares às cordas formam dois triângulos retângulos congruentes, o que implica que os ângulos centrais ?AOB e ?COD são congruentes. Como a medida de um arco é igual à medida do ângulo central que o subtende, os arcos AB e CD têm mesma medida. Triângulos AOB e COD são congruentes por SAS (raio = raio e distância perpendicular igual, e ângulo entre raios igual). Finalmente, ângulos inscritos que interceptam arcos congruentes têm medidas iguais porque cada ângulo inscrito vale metade do ângulo central correspondente; portanto, ao terem arcos iguais, suas metades também são iguais.

Explicação

A explicação demonstra a relação entre as cordas congruentes e os triângulos centrais formados, utilizando propriedades de congruência e a definição de arcos. A congruência dos triângulos AOB e COD garante que os ângulos centrais são iguais, levando à conclusão de que os arcos correspondentes também têm a mesma medida. Além disso, a relação entre ângulos inscritos e ângulos centrais reforça que, ao serem subtendidos por arcos iguais, os ângulos inscritos também são iguais.

Raio-X da questão

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