Seja uma circunferência de centro O. A reta t é tangente à circunferência no ponto A. Sejam B e C pontos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Seja uma circunferência de centro O. A reta t é tangente à circunferência no ponto A. Sejam B e C pontos distintos na circunferência. (a) Prove que o ângulo entre a tangente t e a corda AB é igual ao ângulo inscrito ACB que intercepta o mesmo arco AB. (b) Utilizando essa relação, explique por que tal igualdade de ângulos permite estabelecer semelhança entre triângulos que envolvem o segmento AB e ângulos formados pela tangente e por cordas.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
(a) Seja ? = m(arc AB); então o ângulo inscrito ACB mede ?/2. Considere o triângulo isósceles OAB (OA=OB=r). O ângulo central AOB tem medida ?, então os ângulos da base em A e B valem (180°-?)/2. Como OA é perpendicular à tangente em A, o ângulo entre a tangente e a corda AB é 90° - ?OAB = 90° - (180°-?)/2 = ?/2, igual ao ângulo inscrito ACB. (b) Com essa igualdade, qualquer triângulo cujo vértice sobre a tangente determine junto à corda AB esse ângulo terá, por correspondência angular, um ângulo igual ao ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco; escolhendo um segundo par de ângulos correspondentes (por exemplo, outro ângulo formado pela mesma tangente com outra corda que intercepte um arco correspondente), obtém-se igualdade de dois ângulos entre os triângulos considerados. Pelo critério AA (dois ângulos iguais), conclui-se a semelhança entre esses triângulos, e assim são preservadas proporções entre os lados correspondentes.
Explicação
A explicação apresentada demonstra a relação entre os ângulos formados pela tangente e pela corda, utilizando conceitos de ângulos inscritos e centrais. A semelhança entre triângulos é estabelecida pelo critério AA, que se baseia na igualdade de ângulos correspondentes, resultando em proporções preservadas entre os lados. Essa abordagem permite aplicar a propriedade dos ângulos em diferentes contextos geométricos, reforçando a conexão entre tangentes e cordas em circunferências.
Raio-X da questão
ângulos em circunferência
avaliacao
propriedades de ângulos · semelhança de triângulos
Revisar propriedades de ângulos formados por tangentes e cordas.
O aluno pode confundir a relação entre ângulos formados por tangentes e cordas, não aplicando corretamente a propriedade dos ângulos inscritos.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
Questões parecidas com resolução
- Uma artesã planeja uma peça decorativa em forma de octógono regular, com oito lados iguais. Ao conferir o desenho, ela…
- Em uma instalação de iluminação artística, pontos A e B delimitam dois arcos de uma circunferência. Inicialmente, o arco…
- Em um sistema de rastreamento por antena, um visor circular auxilia a equipe a calibrar a direção de um sinal. No…
- Em um projeto de iluminação de um jardim circular, quatro sensores foram instalados nos pontos A, B, C e D, nessa ordem…
- Em um projeto de mapeamento de uma cúpula circular, a equipe registrou a medida de alguns arcos e os ângulos inscritos…
- Em um projeto de monitoramento de uma reserva, dois setores de uma trilha circular são delimitados por pontos A e B da…
Todas as questões de Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog