No plano cartesiano, considere o círculo de centro O(2,1) e raio 3: (x-2)²+(y-1)²=9. Pontos A(5,1), B(2,4) e…

Questão

No plano cartesiano, considere o círculo de centro O(2,1) e raio 3: (x-2)²+(y-1)²=9. Pontos A(5,1), B(2,4) e C(-1,1) pertencem à circunferência. A reta r passa por A e B; a reta s é paralela a r e passa por C; a transversal t é a reta x=2. a) Determine D, a segunda interseção de s com a circunferência. b) Calcule a medida do arco AC e do ângulo inscrito ?ABC, justificando a relação entre eles. c) Calcule a medida do ângulo agudo entre t e r. d) Calcule a distância BD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Reta s: passa por C(-1,1) com o mesmo declive de r. Como r passa por A(5,1) e B(2,4), seu declive m = (4-1)/(2-5) = -1; assim s: y = -x. Interseção com a circunferência: substituir y=-x em (x-2)²+(-x-1)²=9 ? 2x²-2x-4=0 ? x²-x-2=0 ? (x-2)(x+1)=0. Soluções x=-1 (C) e x=2 ? D(2,-2). b) Vetores OA = (3,0) e OC = (-3,0) são opostos, logo ?AOC = 180°; arco AC (menor) = 180°. Ângulo inscrito subtendendo arco AC satisfaz medida = ½·(medida do arco) ? ?ABC = 90°. Justificação: ângulo central corresponde ao arco inteiro; ângulo inscrito mede metade do arco que subtende. c) Declive de r é -1 ? direção de r forma ângulo a = arctan(-1) = -45° com o eixo x. Transversal t (x=2) é vertical, direção 90° com o eixo x. Diferença |90° - (-45°)| = 135°; o ângulo agudo entre as retas é o complementar: 180°-135° = 45°. Alternativamente, tangente do ângulo entre vertical e r é |1/(-1)|=1 ? ângulo = 45°. d) Coordenadas B(2,4) e D(2,-2) têm mesma abscissa; distância BD = v((2-2)²+(4-(-2))²) = v(0+36)=6.

Explicação

A solução apresenta um raciocínio lógico e passo a passo, utilizando conceitos de geometria analítica, como a determinação de equações de retas e interseções com a circunferência. A relação entre ângulos e arcos é bem explicada, mostrando a conexão entre ângulo central e ângulo inscrito. Além disso, a aplicação da fórmula da distância entre pontos é feita de forma precisa, garantindo a exatidão dos resultados.

Raio-X da questão

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