Um palco de madeira é modelado como um sistema massa-mola com massa efetiva M = 200 kg e constante elástica k…

Questão

Um palco de madeira é modelado como um sistema massa-mola com massa efetiva M = 200 kg e constante elástica k = 5,0×10^4 N/m. Calcule a frequência natural f0 (Hz) e o período T (s) do sistema usando f0 = (1/2p)·v(k/M) e T = 1/f0. Um dançarino de massa m = 70 kg executa batidas verticais rítmicas a 2,50 Hz sobre o palco. Comente se há risco de excitação por ressonância e quais fatores físicos podem atenuar esse risco.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Cálculo: f0 = (1/2p)·v(k/M) = (1/2p)·v(5,0×10^4 N/m ÷ 200 kg) = (1/2p)·v(250 s^-2) = (1/2p)·15,811 = 2,52 Hz. Período T = 1/f0 = 1/2,52 = 0,397 s (˜0,40 s). O dançarino bate a 2,50 Hz, muito próximo de f0 (diferença ˜0,02 Hz ˜0,7%), portanto há risco de excitação ressonante: a amplitude de vibração do palco pode aumentar se a força de excitação mantiver fase com a oscilação natural. Fatores que atenuam o risco: amortecimento estrutural (dissipação de energia), acoplamento entre dançarino e estrutura (massa do dançarino altera a frequência efetiva), distribuição espacial das forças (vários pontos de contato) e variação da frequência de batida. Recomendações: evitar frequência de batida perto de 2,52 Hz ou aumentar amortecimento/rigidez do palco.

Explicação

O cálculo da frequência natural e do período é fundamental para entender se a batida do dançarino pode causar ressonância, pois a proximidade entre a frequência de batida e a frequência natural do sistema aumenta o risco de amplificação das vibrações. Fatores como amortecimento, acoplamento e distribuição das forças ajudam a mitigar esse risco, pois reduzem a amplitude das vibrações ou alteram a frequência efetiva do sistema. Recomendações práticas visam evitar condições que favoreçam a ressonância, garantindo a segurança e a estabilidade do palco.

Raio-X da questão

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