Em um círculo de centro O e raio r = 13 cm, a corda AB mede 10 cm. (a) Determine a medida do ângulo central…

Questão

Em um círculo de centro O e raio r = 13 cm, a corda AB mede 10 cm. (a) Determine a medida do ângulo central ?AOB em graus e do ângulo inscrito ?ACB que intercepta o mesmo arco AB. (b) Calcule a área do triângulo isósceles AOB. (c) Descreva como verificar essas medidas usando um software de geometria dinâmica.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) No triângulo isósceles AOB, a corda AB relaciona-se ao ângulo central ? = ?AOB por AB = 2r·sin(?/2). Assim sin(?/2)=AB/(2r)=10/(2·13)=5/13. Logo ? = 2·arcsin(5/13) ˜ 45,236°; o ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco vale ?/2 ˜ 22,618°. b) A área do triângulo AOB pode ser calculada por (1/2)·r·r·sin? = (r^2/2)·sin?. Usando sin? = 2·sin(?/2)·cos(?/2), com sin(?/2)=5/13 e cos(?/2)=v(1-(5/13)^2)=12/13, obtemos sin? = 2·(5/13)·(12/13)=120/169. Então área = (169/2)·(120/169)=60 cm² (exato). c) Para verificar em software: construir círculo de raio 13, traçar corda AB de comprimento 10, medir ?AOB com a ferramenta de ângulos (deve retornar ˜45,236°) e ?ACB (˜22,618°); traçar triângulo AOB e usar ferramenta de área para confirmar 60 cm²; pode-se também medir sin(?/2) e verificar 5/13.

Explicação

A solução utiliza propriedades de triângulos isósceles e relações trigonométricas para determinar os ângulos e a área do triângulo formado pela corda e o centro do círculo. A verificação com software de geometria dinâmica permite a confirmação visual e numérica dos resultados, garantindo a precisão dos cálculos. O uso de funções trigonométricas, como seno e a relação entre ângulos centrais e inscritos, fundamenta as respostas obtidas.

Raio-X da questão

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