Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência e os cordões AB e CD são…

Questão

Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência e os cordões AB e CD são paralelos (AB ? CD). Sabe-se que o ângulo inscrito ?ACB, que subtende o arco AB, mede 2x + 5° e o ângulo central ?AOB, que subtende o mesmo arco AB, mede 6x - 15°. (a) Determine o valor de x. (b) Prove que os comprimentos dos cordões AB e CD são iguais e, ao traçar as perpendiculares OM e ON de O aos cordões AB e CD, respectivamente, demonstre que OM = ON usando semelhança ou congruência de triângulos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) Como ?ACB é um ângulo inscrito que subtende o mesmo arco AB cujo ângulo central é ?AOB, vale a relação: medida do ângulo inscrito = 1/2 · medida do ângulo central. Assim, 2x + 5 = (6x - 15)/2. Multiplicando por 2: 4x + 10 = 6x - 15 ? 25 = 2x ? x = 12,5°. (b) Como AB ? CD, os arcos determinados entre os extremos correspondentes dos cordões são congruentes; em particular, os arcos interceptados por posições correspondentes implicam que os arcos subtendidos por AB e CD têm a mesma medida ou, equivalently, os ângulos centrais correspondentes têm medidas iguais. Logo, os cordões AB e CD subtendem arcos congruentes, portanto têm o mesmo comprimento. Traçando do centro O as perpendiculares OM e ON aos cordões AB e CD, obtemos dois triângulos retângulos congruentes por hipótese: em cada caso, OM ? AB e ON ? CD, e os segmentos que unem O aos extremos dos cordões são raios iguais ao raio R da circunferência. Outra forma direta: cada cordão tem comprimento c (iguais entre si); em cada triângulo retângulo formado por metade do cordão e a respectiva perpendicular, a hipotenusa é R e um cateto é c/2. Portanto, OM = v(R² - (c/2)²) em ambos os casos, implicando OM = ON. Conclusão: x = 12,5; os cordões AB e CD têm comprimentos iguais; ao traçar as perpendiculares do centro aos cordões obtêm-se triângulos retângulos congruentes (ou simétricos) que garantem OM = ON.

Explicação

A relação entre o ângulo inscrito e o ângulo central permite determinar o valor de x de forma direta, utilizando a equação que relaciona ambos os ângulos. A congruência dos arcos subtendidos pelos cordões paralelos garante que seus comprimentos sejam iguais. A congruência dos triângulos retângulos formados pelas perpendiculares aos cordões assegura que as alturas OM e ON também são iguais, completando a demonstração.

Raio-X da questão

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