Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D estão na circunferência nessa ordem. Os arcos menores…

Questão

Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D estão na circunferência nessa ordem. Os arcos menores AB e CD são congruentes. O ângulo inscrito ?ADB mede 3x + 10° e o ângulo central ?AOB, que subtende o arco AB, mede 2x + 40°. Determine x e a medida do arco AB. Explique e justifique os passos usando relações entre ângulos inscritos e centrais.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Um ângulo inscrito que subtende um arco tem medida igual à metade do ângulo central que subtende o mesmo arco. Como ?ADB é inscrito sobre o arco AB e ?AOB é central sobre o mesmo arco, temos 3x+10 = (1/2)(2x+40). Resolva: 3x+10 = x+20 ? 2x = 10 ? x = 5. Então ?AOB = 2·5+40 = 50°. O arco AB mede 50° (medida igual ao ângulo central que o subtende). Como os arcos AB e CD são congruentes, ambos medem 50° e o ângulo central correspondente a CD também mede 50°.

Explicação

A relação entre ângulos inscritos e centrais permite estabelecer que o ângulo inscrito é sempre metade do ângulo central que subtende o mesmo arco. Ao resolver a equação formada por essa relação, encontramos o valor de x e, consequentemente, a medida do ângulo central e do arco correspondente. A congruência entre os arcos AB e CD garante que ambos possuem a mesma medida, confirmando a solução.

Raio-X da questão

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