Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B e C pertencem à circunferência. Sabe-se que o arco AC mede…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B e C pertencem à circunferência. Sabe-se que o arco AC mede 2x + 40° e o arco AB mede x + 20°. Se o ângulo inscrito ?ABC mede 70° e intercepta o arco AC, determine x e as medidas dos arcos AC e AB.
- A) x = 50; arco AC = 140°; arco AB = 70°
- B) x = 40; arco AC = 120°; arco AB = 60°
- C) x = 15; arco AC = 70°; arco AB = 35°
- D) x = 110; arco AC = 260°; arco AB = 130°
- E) x = 20; arco AC = 80°; arco AB = 40°
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique a relação entre o ângulo inscrito e o arco interceptado. Pelo teorema do ângulo inscrito, a medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que ele intercepta. Como o ângulo ABC intercepta o arco AC, temos: ângulo ABC = arco AC / 2.
- Calcule a medida do arco AC. Como ABC = 70°, temos arco AC = 2 x 70° = 140°.
- Determine x. Como o arco AC é dado por 2x + 40°, temos 2x + 40 = 140, logo 2x = 100 e x = 50.
- Calcule o arco AB. Como o arco AB é dado por x + 20°, temos arco AB = 50 + 20 = 70°.
- Verifique a resposta. Os valores x = 50, arco AC = 140° e arco AB = 70° satisfazem todas as condições do enunciado, portanto a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial.
- Análise das demais alternativas. B está errada porque x = 40 não satisfaz 2x + 40 = 140. C está errada porque tomou o arco AC igual ao ângulo, sem dobrar. D está errada porque 260° corresponde ao arco maior, que não é o arco interceptado pelo ângulo ABC. E está errada porque o valor 80° para o arco AC não corresponde a duas vezes o ângulo de 70°.
💡 Dica: Use que o ângulo inscrito mede a metade do arco interceptado e depois substitua x nas expressões.
Alternativa por alternativa
Um ângulo inscrito mede metade do arco que intercepta: 70° = ½·m(arc AC) ? m(arc AC)=140°. Então 2x+40=140 ? x=50; arco AB = x+20 = 70°.
O aluno provavelmente tomou o arco AC como 120° sem aplicar a relação correta com o ângulo inscrito de 70°, e resolveu a equação de forma apressada ou com um valor de arco inventado.
Por que engana: O aluno pode igualar a medida do ângulo inscrito à do arco interceptado, esquecendo que o ângulo mede a metade do arco, e então escolher valores incompatíveis para x e os arcos.
O aluno considerou que a medida do arco AC é igual à medida do ângulo inscrito (70°), esquecendo que o arco é o dobro do ângulo inscrito.
O aluno usou o arco maior (260°), como se o ângulo inscrito interceptasse o arco que contém o ponto B, em vez do arco AC que não contém B.
O aluno obteve arco AC igual a 80° por um cálculo incorreto da relação entre o ângulo inscrito e o arco, aplicando a relação de forma errada ao valor de 70°.
Raio-X da questão
Ângulo inscrito e arco
avaliacao
Relação entre ângulos e arcos · Substituição em expressões algébricas
Revise a relação entre a medida de um ângulo inscrito e a do arco que ele intercepta, além da substituição em expressões algébricas.
O aluno pode igualar a medida do ângulo inscrito à do arco interceptado, esquecendo que o ângulo mede a metade do arco, e então escolher valores incompatíveis para x e os arcos.
tomada_decisao
abstrato
Questões parecidas com resolução
- Uma artesã planeja uma peça decorativa em forma de octógono regular, com oito lados iguais. Ao conferir o desenho, ela…
- Em uma instalação de iluminação artística, pontos A e B delimitam dois arcos de uma circunferência. Inicialmente, o arco…
- Em um sistema de rastreamento por antena, um visor circular auxilia a equipe a calibrar a direção de um sinal. No…
- Em um projeto de iluminação de um jardim circular, quatro sensores foram instalados nos pontos A, B, C e D, nessa ordem…
- Em um projeto de mapeamento de uma cúpula circular, a equipe registrou a medida de alguns arcos e os ângulos inscritos…
- Em um projeto de monitoramento de uma reserva, dois setores de uma trilha circular são delimitados por pontos A e B da…
Todas as questões de Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog