Em um pentágono regular de lado 1 (imagem descrita), justifique por que a diagonal d = (1+v5)/2 e conclua que…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Associar figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera) a objetos do mundo físico e nomear essas figuras.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um pentágono regular de lado 1 (imagem descrita), justifique por que a diagonal d = (1+v5)/2 e conclua que d é irracional.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Considere um pentágono regular de lado 1. Seja d a diagonal entre vértices não consecutivos. Pela semelhança de triângulos que se formam ao traçar diagonais, obtém-se a relação d = 1 + 1/d, multiplicando ambos os lados por d: d^2 = d + 1. Essa equação quadrática tem solução positiva d = (1+v5)/2. Como v5 não é racional (5 não é quadrado perfeito), d contém v5 na expressão e, portanto, é irracional. Logo a diagonal de um pentágono regular de lado 1 não pode ser expressa como número racional.
Explicação
A relação d = 1 + 1/d, derivada da semelhança de triângulos, leva à equação quadrática d^2 - d - 1 = 0, cuja solução positiva é d = (1 + v5)/2. O termo v5 é irracional, pois 5 não é um quadrado perfeito, o que implica que d também é irracional. Assim, a diagonal do pentágono regular não pode ser representada como um número racional.
Raio-X da questão
diagonais de pentágonos
avaliacao
propriedades de pentágonos · números irracionais
Revisar propriedades de figuras geométricas e irracionalidade de números.
O aluno pode confundir a fórmula da diagonal com a do lado do pentágono, levando a um resultado incorreto.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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