Uma escola realizou uma pesquisa sobre a preferência dos estudantes por Matemática. Os resultados indicaram…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma escola realizou uma pesquisa sobre a preferência dos estudantes por Matemática. Os resultados indicaram que 70% dos alunos entrevistados preferem essa disciplina. Para uma atividade de análise estatística, serão escolhidos 10 estudantes aleatoriamente. Considere que as preferências dos estudantes são independentes e que a proporção de 70% pode ser usada como probabilidade para cada estudante selecionado. Com base nos dados da pesquisa, qual é, aproximadamente, a probabilidade de exatamente 6 dos 10 estudantes escolhidos preferirem Matemática?
- A) 0,037
- B) 0,200
- C) 0,700
- D) 0,118
- E) 0,001
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo. Cada um dos 10 estudantes escolhidos prefere Matemática com probabilidade p = 0,7, de forma independente. Queremos exatamente k = 6 sucessos, então temos uma distribuição binomial com n = 10, p = 0,7 e k = 6.
- Escreva a fórmula. P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k), em que C(n, k) é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
- Calcule o coeficiente binomial. C(10, 6) = 10! / (6! * 4!) = 210.
- Calcule as potências. 0,7^6 = 0,117649 e 0,3^4 = 0,0081.
- Multiplique tudo. P = 210 * 0,117649 * 0,0081 = aproximadamente 0,200. Logo, a resposta é a alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A (0,037) inverte p e 1 - p, usando 0,3^6 * 0,7^4, o que corresponde à probabilidade de 4 sucessos. C (0,700) é apenas a probabilidade de um estudante preferir Matemática, ignorando o restante do modelo. D (0,118) é só a parte 0,7^6, sem o coeficiente binomial nem o fator 0,3^4. E (0,001) é a probabilidade de uma sequência específica de 6 sucessos e 4 fracassos, sem multiplicar pelo número de sequências possíveis, C(10, 6) = 210.
💡 Dica: Utilize a fórmula da probabilidade binomial para resolver.
Alternativa por alternativa
O aluno trocou os papéis de p e 1 - p, calculando C(10,6) * 0,3^6 * 0,7^4, que é a probabilidade de exatamente 4 estudantes preferirem Matemática.
A situação segue um modelo binomial, com n = 10, p = 0,7 e probabilidade de não preferência igual a 0,3. Para exatamente 6 estudantes que preferem Matemática, calcula-se P(X = 6) = C(10,6) · (0,7)^6 · (0,3)^4. Assim, P(X = 6) = 210 · 0,117649 · 0,0081 = 0,200120949, que corresponde aproximadamente a 0,200.
O aluno acredita que a probabilidade pedida é simplesmente a proporção de 70%, sem considerar que estamos contando combinações de exatamente 6 sucessos em 10 tentativas.
Por que engana: Calcular a probabilidade sem usar a formula da binomial, confundindo eventos independentes e dependentes.
O aluno calculou apenas 0,7^6 e esqueceu o coeficiente binomial C(10,6) = 210 e a probabilidade de fracasso 0,3^4 dos 4 estudantes restantes.
O aluno calculou a probabilidade de uma ordem específica de resultados (0,7^6 * 0,3^4 ≈ 0,001) e não multiplicou pelo número de maneiras de escolher quais 6 dos 10 estudantes preferem Matemática, que é 210.
Raio-X da questão
probabilidade binomial
avaliacao
probabilidade basica · combinatoria simples
Revisar a fórmula da probabilidade binomial e suas aplicações.
Calcular a probabilidade sem usar a formula da binomial, confundindo eventos independentes e dependentes.
tomada_decisao
cotidiano
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