Questões sobre sequências recursivas e não recursivas

Quando comecei a ensinar sequências no oitavo ano, a parte que mais travava minha turma não era a conta, e sim a ideia de que um termo pode depender do anterior. Muitos alunos olhavam 1, 1, 2, 3, 5 e não entendiam por que aquilo era diferente de 2, 5, 8, 11. Foi a partir dessa dificuldade que comecei a montar listas de questões comparando os dois tipos.

Neste post, eu reúno o que aprendi na prática e seis questões reais da base do GeraProva, todas resolvidas, com gabarito comentado. Você pode usar tudo isso direto na sua aula ou como base para a sua próxima prova.

O que é uma sequência recursiva?

Uma sequência recursiva é aquela em que cada termo é calculado a partir de um ou mais termos anteriores, sempre com uma regra de formação e, geralmente, um termo inicial dado. Na prática, para descobrir o próximo número, o aluno precisa olhar para o que veio antes. Exemplos clássicos são a sequência em que cada termo é o dobro do anterior e a sequência de Fibonacci, em que cada termo é a soma dos dois anteriores. Na minha experiência, a pergunta que mais ajuda é: para achar o próximo termo, eu preciso do anterior? Se a resposta for sim, a sequência é recursiva.

Como diferenciar sequências recursivas de não recursivas?

A diferença está na forma de definição. Uma sequência não recursiva (também chamada explícita) tem uma fórmula que relaciona diretamente a posição n ao valor do termo, como aₙ = 3n − 1. Você calcula o termo 10 sem precisar conhecer o termo 9. Já a recursiva depende de relações como aₙ = 2 · aₙ₋₁. Eu costumo pedir que os alunos reescrevam cada sequência nas duas formas sempre que possível: isso ajuda muito a fixar o conceito.

• Recursiva: depende do termo (ou dos termos) anterior(es).
• Não recursiva: depende apenas da posição n.
• Dica de ouro: se a fórmula tem n e nenhum termo anterior, é explícita.

Como montar questões sobre esse tema na prática?

Quando preparo uma avaliação, gosto de variar o contexto: uma oficina com peças, um mosaico, uma coreografia. Isso mostra ao aluno que a recursão aparece na arte e na vida, como pede a BNCC na habilidade EF07MA14. Eu costumo misturar três tipos de item: classificar uma sequência dada, identificar a regra que gera os termos e escolher a sequência que não se encaixa. Foi justamente para ganhar tempo nessa etapa que passei a usar o GeraProva, que monta alternativas com distratores plausíveis, como os erros mais comuns de quem confunde uma fórmula explícita com uma regra recursiva. Se você ainda não conhece, vale a pena fazer o cadastro grátis e testar com a sua turma.

Questões prontas com gabarito comentado

A seguir estão seis questões reais, com alternativas analisadas uma a uma. Eu sempre peço que os alunos expliquem por que cada alternativa errada está errada, e isso costuma render a melhor discussão da aula.

Em um jogo de construção, uma sequência mostra a quantidade de peças usadas em cada fase.

Em um jogo de construção, uma sequência mostra a quantidade de peças usadas em cada fase. Na sequência A, cada termo é o dobro do termo anterior: 3, 6, 12, 24, ... Na sequência B, a quantidade de peças da posição n é calculada por (n + 1)²: 4, 9, 16, 25, ...

Classifique as sequências A e B como recursiva ou não recursiva.

• ✅ A) A sequência A é recursiva e a sequência B é não recursiva. — A sequência A é recursiva porque cada termo depende do termo anterior: para obter o próximo termo, basta dobrar o anterior. A sequência B é não recursiva porque seu termo pode ser calculado diretamente pela posição n, usando a expressão (n + 1)², sem depender do termo anterior.
• ❌ B) As duas sequências são recursivas. — Esse erro ocorre quando se considera que toda sequência cujos termos aumentam seguindo um padrão depende necessariamente do termo anterior. Porém, a sequência B possui uma expressão que permite calcular qualquer termo diretamente.
• ❌ C) A sequência A é geométrica e a sequência B é recursiva. — A sequência A realmente apresenta uma razão constante, mas o comando pede classificá-la como recursiva ou não recursiva. Além disso, a sequência B é calculada diretamente pela posição, e não pelo termo anterior.
• ❌ D) A sequência A é não recursiva e a sequência B é recursiva. — Essa alternativa troca as classificações. Ela pode ser escolhida quando o estudante confunde a fórmula direta da sequência B com uma regra baseada no termo anterior e não percebe a dependência existente na sequência A.
• ❌ E) As duas sequências são não recursivas. — Esse erro pode surgir quando o estudante observa apenas que as duas sequências têm padrões visíveis e conclui que nenhuma utiliza o termo anterior. Entretanto, a sequência A é construída dobrando o termo anterior.

Dica de resolução: identifique se a sequência depende do termo anterior ou da posição do termo. Conceito central: sequências recursivas e não recursivas. Conceito para revisão: definição e exemplos de sequências recursivas e explícitas. BNCC: EF07MA14. Nível de Bloom: Analisar.

Pedro registrou duas sequências numéricas em uma atividade. Analise as definições.

Em uma atividade, Pedro registrou duas sequências numéricas. A primeira foi definida por a1 = 3 e a? = 2 · a??1, para n > 1, formando 3, 6, 12, 24, ... . A segunda foi definida por b? = 4n + 1, formando 5, 9, 13, 17, ... .

Analise as duas definições e identifique qual sequência é recursiva e qual não é recursiva.

• ✅ A) A sequência 3, 6, 12, 24, ... é recursiva, e a sequência 5, 9, 13, 17, ... não é recursiva. — A primeira sequência é recursiva porque cada termo, a partir do segundo, é calculado usando o termo anterior, conforme a regra aₙ = 2 · aₙ₋₁. A segunda não é recursiva porque cada termo pode ser calculado diretamente pela fórmula bₙ = 4n + 1, sem usar o termo anterior.
• ❌ B) A sequência 3, 6, 12, 24, ... é recursiva, e não é possível classificar a sequência 5, 9, 13, 17, ... com as informações dadas. — Esse erro reconhece corretamente a regra da primeira sequência, mas afirma que a segunda não pode ser classificada, embora sua fórmula bₙ = 4n + 1 mostre diretamente como obter qualquer termo.
• ❌ C) As sequências 3, 6, 12, 24, ... e 5, 9, 13, 17, ... são recursivas. — Esse erro considera que toda sequência com uma regra de formação é recursiva, sem observar se a regra usa o termo anterior ou fornece o termo diretamente.
• ❌ D) A sequência 3, 6, 12, 24, ... não é recursiva, e a sequência 5, 9, 13, 17, ... é recursiva. — Esse erro troca a classificação das sequências: considera que uma fórmula com o termo anterior é direta e que uma fórmula em função de n é recursiva.
• ❌ E) As sequências 3, 6, 12, 24, ... e 5, 9, 13, 17, ... não são recursivas. — Esse erro ignora a dependência entre termos da primeira sequência e considera que a existência de uma expressão algébrica impede uma definição recursiva.

Dica de resolução: compare as definições recursiva e explícita para identificar cada tipo. Conceito central: sequência recursiva e explícita. Conceito para revisão: definições e exemplos de sequências recursivas e explícitas. BNCC: EF07MA14. Nível de Bloom: Aplicar.

Mestre, de onde vem a ordem das sequências usadas na coreografia? Identifique a recursiva.

— Mestre, de onde vem a ordem das sequências que usamos na coreografia? — perguntou Ana, observando as notas no quadro. Ele apresentou cinco listas de números usadas para ensaio: 1. Sequência A: começa com 1, 1; cada termo é a soma dos dois anteriores. 2. Sequência B: o termo geral é dado por 2n + 3. 3. Sequência C: o n-ésimo termo é 5 multiplicado por 3^(n-1). 4. Sequência D: o termo geral é n^2 - 1. 5. Sequência E: lista de números primos em ordem crescente.

Identifique qual destas sequências é definida de forma recursiva, ou seja, cada termo é expresso em função de termos anteriores.

• ❌ A) Sequencia C: termo é 5 multiplicado por 3^(n-1) — Uso de potência em função de n, explícito, sem referência a termos anteriores.
• ❌ B) Sequencia D: termo geral é n^2 - 1 — Fórmula direta em n, sem relação com termos anteriores.
• ✅ C) Sequencia A: começa com 1, 1 e cada termo é soma dos dois anteriores — A sequência A é recursiva, pois aₙ depende de aₙ₋₁ e aₙ₋₂.
• ❌ D) Sequencia E: lista de números primos em ordem crescente — A sequência dos primos segue critério de primalidade, não uma regra recursiva.
• ❌ E) Sequencia B: termo geral é dado por 2n + 3 — Fórmula explícita, não recursiva, pois o termo n não usa termos anteriores.

Dica de resolução: identifique a definição que expressa cada termo a partir dos anteriores. Conceito central: sequência recursiva. Conceito para revisão: definições recursivas e explícitas de sequências numéricas. BNCC: EF07MA14. Nível de Bloom: Criar.

Em um documentário, quatro sequências foram destacadas. Qual não é definida recursivamente?

Em um documentário fictício sobre padrões folclóricos, quatro sequências numéricas foram destacadas pelos narradores. A primeira apresenta números ao quadrado dos inteiros: 1, 4, 9, 16, 25. A segunda dobra o valor do termo anterior: 2, 4, 8, 16, 32. A terceira acrescenta 5 ao termo anterior: 5, 10, 15, 20, 25. A quarta segue o ritmo de Fibonacci, somando os dois termos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5. Esses exemplos mostram como a recursão aparece em diferentes contextos.

Analise o texto-base e identifique qual das sequências NÃO é definida recursivamente.

• ✅ A) 1, 4, 9, 16, 25 — Sequência de quadrados é definida explicitamente por aₙ = n², sem uso direto do termo anterior.
• ❌ B) Nenhuma das sequências — Há uma sequência explícita (quadrados), portanto não são todas definidas recursivamente.
• ❌ C) 2, 4, 8, 16, 32 — Cada termo é obtido a partir do anterior dobrando-o, caracterizando definição recursiva.
• ❌ D) 5, 10, 15, 20, 25 — Cada termo resulta do termo anterior acrescido de 5, logo é recursiva.
• ❌ E) 1, 1, 2, 3, 5 — Sequência de Fibonacci é recursiva, pois soma os dois termos anteriores.

Dica de resolução: identifique a definição recursiva de cada sequência numérica. Conceito central: sequências recursivas e não recursivas. Conceito para revisão: definições e exemplos de sequências recursivas. BNCC: EF07MA14. Nível de Bloom: Lembrar.

Por que observamos que, em mosaicos antigos, cada nova fileira parece derivar das anteriores?

Por que observamos que, em alguns mosaicos antigos, cada nova fileira de azulejos parece derivar das anteriores de modo quase mágico? Em um ateliê, artesãos contam o número de peças em cada fileira: na primeira, 1 peça; na segunda, 1 peça; na terceira, 2 peças; na quarta, 3 peças; na quinta, 5 peças. Eles explicam que cada fileira traz a soma das duas anteriores. Em outro canto, pintores registram padrões de pinceladas com sequências como 2, 5, 8, 11, usando fórmula direta. Artistas ainda listam séries como 2, 4, 8, 16 e 1, 4, 9, 16 com fórmulas explícitas. Esses exemplos mostram que nem toda sequência precisa de termo anterior, mas algumas dependem diretamente deles.

Analise o texto e identifique qual das sequências exemplificadas é recursiva, ou seja, depende dos termos anteriores para gerar novos termos?

• ❌ A) Sequencia 4: 3, 6, 9, 12, ... — É aritmética com expressão explícita aₙ = 3n, não definida recursivamente.
• ❌ B) Sequencia 5: 1, 4, 9, 16, ... — É dada por aₙ = n², fórmula fechada e não recursiva.
• ❌ C) Sequencia 2: 2, 5, 8, 11, ... — Difere dos termos anteriores por fórmula explícita aₙ = 3n−1, não usa recursão.
• ❌ D) Sequencia 3: 2, 4, 8, 16, ... — É geométrica com fórmula explícita aₙ = 2ⁿ, sem depender de termo anterior na definição.
• ✅ E) Sequencia 1: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... — Esta sequência é recursiva pois cada termo é soma dos dois anteriores, conforme descrito no texto.

Dica de resolução: identifique qual sequência depende dos termos anteriores para formar a próxima. Conceito central: sequência recursiva. Conceito para revisão: conceito de sequências recursivas e explícitas. BNCC: EF07MA14. Nível de Bloom: Entender.

Em uma oficina, três estudantes criam sequências com peças. Quais são recursivas?

Em uma oficina, três estudantes criam sequências com o número de peças usadas em cada etapa. Na sequência A, a primeira etapa usa 2 peças e, em cada etapa seguinte, acrescentam-se 2 peças. Na sequência B, as duas primeiras etapas usam 1 peça, e cada etapa seguinte usa a soma das duas anteriores. Na sequência C, o número de peças da etapa n é calculado diretamente pela expressão 3n - 1.

Analise o texto-base e identifique quais sequências são recursivas, isto é, dependem de um ou mais termos anteriores para determinar o termo seguinte.

• ❌ A) Nenhuma das sequências — Este distrator desconsidera que uma sequência pode ser recursiva mesmo quando a regra usa apenas o termo imediatamente anterior, como ocorre em A, ou dois termos anteriores, como ocorre em B.
• ✅ B) Apenas A e B — A sequência A é recursiva porque cada termo é obtido a partir do termo anterior, acrescentando 2. A sequência B também é recursiva porque cada termo depende dos dois termos anteriores. A sequência C não é recursiva, pois seu termo é calculado diretamente pela expressão 3n − 1, sem depender dos termos anteriores.
• ❌ C) Apenas A — Este distrator considera recursiva somente a sequência em que se acrescenta uma quantidade ao termo anterior, ignorando que a sequência B também usa termos anteriores para calcular o próximo.
• ❌ D) Apenas C — Este distrator interpreta a existência da expressão 3n − 1 como suficiente para classificar a sequência como recursiva. Porém, essa expressão calcula cada termo diretamente, sem usar termos anteriores.
• ❌ E) Apenas B — Este distrator reconhece a soma dos dois termos anteriores como uma regra recursiva, mas desconsidera que, na sequência A, o termo seguinte também é obtido a partir do termo anterior.

Dica de resolução: identifique a definição de sequência recursiva e compare com as descrições dadas. Conceito central: sequência recursiva em matemática. Conceito para revisão: conceito de sequência recursiva e sequência explícita. BNCC: EF07MA14. Nível de Bloom: Lembrar.

Como usar essas questões na sua turma?

Minha sugestão é começar pela questão de classificação simples, pedir que os alunos justifiquem em voz alta e só depois avançar para as de identificação de regra. Quando a turma erra sempre a mesma alternativa, isso é um sinal claro de que o conceito de dependência do termo anterior precisa de mais trabalho. Eu aproveito esses erros como ponto de partida da aula seguinte.

Também vale pedir que os alunos criem suas próprias sequências, uma recursiva e uma explícita, para o mesmo padrão visual. Esse exercício de criação é o que mais aproxima o conteúdo da realidade deles.

Vale a pena usar uma ferramenta para montar as provas?

Sinceramente, o maior ganho para mim foi o tempo. Antes eu passava horas escrevendo distratores que fizessem sentido. Hoje, com o GeraProva, eu gero um conjunto de questões alinhadas à BNCC, reviso o que precisa de ajuste e foco no que realmente importa: a aula. Você pode começar sem compromisso e criar sua conta grátis para testar com a sua turma.

Estas questões são um ponto de partida: revise sempre o conteúdo antes de aplicar em sala e adapte ao nível da sua turma. Se quiser experimentar a geração de provas com o GeraProva, o cadastro é gratuito e leva menos de dois minutos. Bons ensaios!