Exercícios de proporcionalidade: questões comentadas para usar em aula

Sempre que eu chegava numa aula de proporcionalidade, sentia que os alunos decoravam a regra de três e esqueciam o sentido dela duas semanas depois. Na minha turma do nono ano, o problema se repetia: eles multiplicavam em cruz sem perguntar se a relação fazia sentido. Foi quando comecei a montar listas com questões que obrigam o aluno a justificar o tipo de relação antes de calcular.

Hoje uso bastante o GeraProva para montar essas listas em poucos minutos, sempre com gabarito comentado. Se você ainda não conhece, vale a pena fazer o cadastro grátis e testar com a sua turma.

O que é proporcionalidade e como cobrar isso em prova?

Proporcionalidade é a relação entre duas grandezas que variam de forma previsível. Ela pode ser direta, quando as duas crescem ou diminuem juntas na mesma razão, ou inversa, quando uma aumenta enquanto a outra diminui de modo que o produto entre elas se mantém. Há ainda os casos não proporcionais, que são a maioria dos fenômenos do dia a dia. Em prova, o ideal é cobrar primeiro a identificação do tipo de relação e só depois o cálculo. Com o GeraProva, você pode gerar questões que misturam esses três casos, o que evita que o aluno aplique regra de três a tudo.

Por que o aluno erra o tipo de relação?

Na prática, o erro mais comum é supor que toda relação entre duas quantidades é direta. Um aluno vê "mais horas, mais nota" e conclui proporcionalidade, quando a relação não é constante. Por isso, eu sempre peço que ele responda, antes de calcular, se dobrar uma grandeza dobra a outra. Essa pergunta simples resolve boa parte dos equívocos.

Como identificar proporcionalidade direta e inversa em sala?

Para identificar a proporcionalidade direta, verifique se a razão entre as duas grandezas se mantém constante, ou se a relação passa pela origem quando representada no plano cartesiano. Para a inversa, verifique se o produto entre as grandezas permanece constante. Em uma turma de oitenta alunos que testei no ano passado, a maior dificuldade foi justamente o caso inverso, como torneiras abertas e tempo de enchimento. Usei sempre exemplos concretos antes de chegar à fórmula.

Passo a passo para a turma

• Peça que cada aluno descreva a relação em uma frase.
• Teste com dois valores: dobrando uma grandeza, o que acontece com a outra?
• Confirme com a razão (direta) ou o produto (inversa).
• Só então monte a equação e resolva.

Quantas questões de proporcionalidade usar por aula?

Na minha experiência, cinco a oito questões por aula funcionam bem quando você mistura os três tipos de relação. Mais do que isso costuma cansar e o aluno passa a responder no automático. Com o GeraProva, consigo gerar um bloco de seis a oito questões já variadas em dificuldade, e reservar uma delas para discussão coletiva, comparando os distratores. Isso economiza bastante tempo de preparação.

Como usar questões comentadas para revisar o conteúdo?

Questões com gabarito comentado são úteis porque explicam não só a resposta certa, mas também por que cada alternativa errada atrai o aluno. Quando você lê os distratores em voz alta, o aluno percebe o erro que cometeria. Isso vale tanto para revisão quanto para prova. Abaixo estão seis questões reais da base do GeraProva, com enunciado, alternativas, dica e a leitura pedagógica de cada uma.

Questões prontas com gabarito comentado

Questão 1: relação inversa entre torneiras e tempo de enchimento

Comparar as situacoes e identificar aquela que representa proporcionalidade inversa.

• ❌ A) Litros de tinta e area pintada, com mesmo rendimento — Mais área exige mais tinta. A relação é direta.
• ❌ B) Preço por unidade e quantidade paga, com valor fixo por unidade — Mantido o preço unitário, pagando mais compra-se mais unidades. Relação direta.
• ❌ C) Distância percorrida e combustível gasto, com mesmo consumo — Maior distância tende a exigir mais combustível. Relação direta.
• ❌ D) Número de páginas e massa do caderno, com mesmo tipo de papel — Mais páginas aumentam a massa. Relação direta.
• ✅ E) Número de torneiras iguais abertas e tempo para encher um tanque — Abrindo mais torneiras, o tempo diminui na mesma proporção. Relação inversa.

Dica de resolução: analise as relações entre as grandezas para identificar a proporcionalidade inversa. Conceito central: proporcionalidade inversa. Conceito para revisão: revisar o conceito de proporcionalidade inversa e suas características. A BNCC associada é EF09MA08, e o nível de Bloom é analisar, com raciocínio dedutivo e dificuldade média.

Questão 2: qual reta passa pela origem?

— Se houver taxa inicial, uma entrega sem percurso já terá custo — observou a representante dos ciclistas durante uma simulação fictícia para contratar um serviço de entregas. A prefeitura definiu que o valor C, em reais, deveria variar em proporção direta à distância d, em quilômetros, percorrida. Cinco empresas apresentaram seus modelos: P: C = 8 + 1,5d; Q: C = 1,5d; R: C = 5 + 2d; S: C = 2 + 0,5d; e T: C = 4 + 3d. A comissão precisa reconhecer, no plano cartesiano, o modelo que atende à condição estabelecida.

Analise os modelos apresentados e identifique a representação geométrica que atende à condição de proporcionalidade direta definida pela prefeitura.

• ❌ A) A reta do modelo T, que intercepta o eixo vertical em 4. — Erro de considerar apenas o coeficiente da distância: o termo constante 4 indica custo mesmo quando a distância é zero.
• ❌ B) A reta do modelo S, que intercepta o eixo vertical em 2. — Erro de associar menor valor inicial à proporcionalidade: o termo constante 2 desloca a reta para cima no plano cartesiano.
• ✅ C) A reta do modelo Q, que passa pela origem do plano. — No modelo Q, C = 1,5d não há termo constante. Logo, para d = 0, C = 0, e a reta passa pela origem.
• ❌ D) A reta do modelo P, que intercepta o eixo vertical em 8. — Erro de confundir crescimento linear com proporcionalidade: o termo constante 8 faz com que a reta não passe pela origem.
• ❌ E) A reta do modelo R, que intercepta o eixo vertical em 5. — Erro de ignorar a taxa fixa: embora o custo aumente com a distância, o valor inicial 5 impede a proporcionalidade direta.

Dica de resolução: identifique a função que representa proporcionalidade direta, ou seja, sem termo constante. Conceito central: proporcionalidade direta, função linear. Conceito para revisão: estude funções lineares e a definição de proporcionalidade direta. A BNCC associada é EM13MAT401, com nível de Bloom aplicar, raciocínio crítico e dificuldade média.

Questão 3: classificar quatro pares de grandezas

Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. — A primeira relação foi identificada corretamente, mas a segunda foi considerada diretamente proporcional. Mais horas de estudo não garantem uma nota que aumente sempre na mesma proporção.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. — Esse raciocínio supõe que, ao aumentar uma grandeza, a outra sempre aumenta na mesma proporção. Isso não é garantido em nenhuma das duas relações.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. — Esse raciocínio supõe que, ao aumentar uma grandeza, a outra diminui de modo que o produto entre elas fique constante. Isso não descreve as relações apresentadas.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são não proporcionais. — Nenhuma das relações descritas é proporcional. A altura e o peso de uma pessoa não mantêm uma razão constante, e estudar mais horas não garante uma nota que aumente sempre na mesma proporção.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota são não proporcionais. — A segunda relação foi identificada corretamente, mas a primeira foi considerada diretamente proporcional. A altura e o peso não mantêm uma razão constante.

Dica de resolução: verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Conceito para revisão: revise os critérios de proporcionalidade direta e inversa e diferencie associação de proporcionalidade. A BNCC associada é EF08MA12, com nível de Bloom analisar, raciocínio crítico e dificuldade média.

Questão 4: o procedimento das camisas

Cena de sala de aula: a professora apresentou dois problemas de compra de camisas com preços proporcionais. No primeiro, 5 camisas custam R$ 150; no segundo, 8 camisas custam R$ 240. Para cada exemplo, ela calculou o valor unitário dividindo o preço pela quantidade e depois multiplicou pelo número de camisas desejadas. Em seguida, propôs um terceiro problema: quanto custarão 12 camisas? Ela recomendou usar o mesmo conjunto de passos adotados nos dois primeiros exemplos.

Analise o texto-base e identifique qual procedimento deve ser repetido para resolver o problema das 12 camisas.

• ❌ A) Somar o preço unitário dos dois exemplos e dividir pela nova quantidade. — Não se soma valores unitários de exemplos distintos; procedimento inválido para esse problema.
• ❌ B) Somar os preços dos dois primeiros exemplos e multiplicar pela nova quantidade. — Mistura valores totais em vez de calcular preço por unidade, procedimento incorreto.
• ❌ C) Aplicar regra de três para proporção inversa entre preço e quantidade. — Os exemplos são de proporcionalidade direta, não inversa; esse procedimento levaria ao erro.
• ✅ D) Dividir o preço total pela quantidade para obter o preço unitário e depois multiplicar pela nova quantidade. — Esse é exatamente o método usado nos dois exemplos: determinar valor unitário e multiplicar pela quantidade desejada.
• ❌ E) Calcular a diferença entre as quantidades e aplicar essa diferença ao preço. — Subtrair quantidades não gera informação sobre preço unitário; é procedimento inadequado.

Dica de resolução: calcule o preço unitário dividindo o preço total pela quantidade e multiplique pela nova quantidade. Conceito central: proporcionalidade e regra de três. Conceito para revisão: estude como calcular preço unitário e aplicar regra de três simples. A BNCC associada é EF07MA06, com nível de Bloom entender, raciocínio analógico e dificuldade média.

Questão 5: aeração em dois tanques e a relação entre alturas

ENEM - 2020 Um processo de aeração, que consiste na introdução de ar num líquido, acontece do seguinte modo: uma bomba B retira o líquido de um tanque T1 e o faz passar pelo aerador A1, que aumenta o volume do líquido em 15%, e em seguida pelo aerador A2, ganhando novo aumento de volume de 10%. Ao final, ele fica armazenado num tanque T2, de acordo com a figura.

Os tanques T1 e T2 são prismas retos de bases retangulares, sendo que a base de T1 tem comprimento c e largura L, e a base de T2 tem comprimento e largura 2L.

Para finalizar o processo de aeração sem derramamento do líquido em T2, o responsável deve saber a relação entre a altura da coluna de líquido que já saiu de T1, denotada por x, e a altura da coluna de líquido que chegou a T2, denotada por y.

A equação que relaciona as medidas das alturas y e x é dada por

• ✅ A) Y = 1,265x — Certa, pois a relação entre as alturas é dada pela proporção dos volumes após os aumentos de 15% e 10%.
• ❌ B) Y = 1,250x — Errada, pois não considera corretamente os aumentos sucessivos de volume.
• ❌ C) Y = 1,150x — Errada, pois não reflete a relação correta entre os volumes após a aeração.
• ❌ D) Y = 1,125x — Errada, pois não leva em conta o aumento total do volume do líquido após passar pelos aeradores.
• ❌ E) Y = x — Errada, pois ignora os aumentos de volume, resultando em uma relação incorreta entre as alturas.

Dica de resolução: calcule o volume inicial, aplique os aumentos percentuais e iguale ao volume final para encontrar y em função de x. Conceito central: aumento percentual e volume. Conceito para revisão: revisar porcentagem, volume de prismas e relações proporcionais. A BNCC associada é EM13CNT301, com nível de Bloom aplicar, raciocínio dedutivo e dificuldade média.

Questão 6: frações equivalentes na feira de livros

— Para que todas as turmas recebam a mesma parte do acervo, vamos separar os livros em grupos iguais — explicou a mediadora da feira de troca de livros. Havia 24 histórias em quadrinhos disponíveis para seis rodas de leitura, e cada roda recebeu 4 livros. Depois da distribuição, uma estudante preparou cartões para mostrar a parte do acervo destinada a uma roda e a parte destinada a duas rodas juntas. Ela registrou essas partes, em relação ao total de livros, como 4/24 e 8/24. Os cartões também devem apresentar frações mais simples e indicar qual das duas partes é menor.

Interprete os registros da estudante e identifique a relação que apresenta corretamente as frações equivalentes e a comparação entre as partes do acervo.

• ❌ A) A fração 4/24 equivale a 1/4, a fração 8/24 equivale a 1/3, e a primeira é menor. — Erro de simplificação: 4/24 equivale a 1/6, pois numerador e denominador devem ser divididos por 4.
• ✅ B) A fração 4/24 equivale a 1/6, a fração 8/24 equivale a 1/3, e a primeira é menor. — Uma roda recebeu 4 de 24 livros, ou 1/6. Duas rodas receberam 8 de 24, ou 1/3. Assim, 1/6 é menor que 1/3.
• ❌ C) A fração 4/24 equivale a 1/6, a fração 8/24 equivale a 1/4, e a primeira é menor. — Erro de simplificação: 8/24 equivale a 1/3, ao dividir os dois termos por 8, e não a 1/4.
• ❌ D) A fração 4/24 equivale a 1/3, a fração 8/24 equivale a 1/6, e a primeira é menor. — Erro de inversão: as frações simplificadas foram trocadas. A parte de uma roda é 1/6 e a de duas rodas é 1/3.
• ❌ E) A fração 4/24 equivale a 1/6, a fração 8/24 equivale a 1/3, e a primeira é maior. — Erro de ordenação: uma roda recebeu menos livros do que duas rodas juntas, logo 4/24 é menor que 8/24.

Dica de resolução: simplifique as frações e compare os valores para identificar a menor parte. Conceito central: frações equivalentes e comparação. Conceito para revisão: estude simplificação e comparação de frações. A BNCC associada é EF06MA07, com nível de Bloom aplicar, raciocínio analógico e dificuldade média.

Como adaptar essas questões para a sua turma?

Minha sugestão é usar as questões em duas etapas. Primeiro, peça que os alunos resolvam sem consultar o gabarito e marquem em qual tipo de relação cada situação se encaixa. Depois, leia os distratores com a turma e pergunte por que cada alternativa errada seria escolhida. Esse segundo momento é onde o aprendizado acontece de fato. No GeraProva, você pode pedir questões nesse mesmo formato, com a justificativa de cada alternativa, e ajustar o nível para o ano da turma.

Vale a pena usar o GeraProva para montar essas listas?

Para mim, o ganho principal é o tempo. O que levava uma tarde inteira de pesquisa e digitação hoje leva alguns minutos, e sobra tempo para pensar na aula em si. Você continua no controle: revise o enunciado, troque o contexto para algo da realidade dos seus alunos e decida o que vai para a prova. Se quiser experimentar, faça o cadastro grátis e gere a sua primeira lista.

Esta é a minha forma de trabalhar, e cada professor tem a sua. Teste as questões com a sua turma, ajuste o que for preciso e veja se elas ajudam. Se fizer sentido para você, experimente o GeraProva e me conte como foi.