Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT506)

Outro dia recebi no planejamento anual o código EM13MAT506 e, confesso, fiquei com aquela pergunta clássica: como transformar isso em aula de verdade e numa avaliação que meça o que importa? Quem já passou por isso sabe que a BNCC é precisa no texto, mas o trabalho começa quando você precisa colocar a régua na mesa.

Neste post, eu organizo o que aprendi montando material para essa habilidade: o que ela pede, ideias que cabem numa sala comum, como avaliar sem cair em armadilhas e seis questões com gabarito comentado para você usar já.

O que a habilidade EM13MAT506 pede, de verdade?

Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.

Na prática, o aluno precisa entender que, quando você aumenta o lado de um polígono regular, o perímetro e a área não crescem do mesmo jeito. O perímetro cresce na mesma proporção do lado, então sua representação gráfica é uma reta. A área depende do quadrado do lado, então a curva fica cada vez mais inclinada. Ou seja, a habilidade junta geometria com funções: o aluno precisa desenhar esses gráficos, reconhecer o tipo de função (linear, quadrática) e explicar por que a diferença acontece. Não basta decorar fórmulas de área de hexágono; é preciso interpretar a variação.

Como trabalhar EM13MAT506 em sala?

Algumas ideias que funcionaram bem comigo, todas com papel quadriculado e régua:

• Quadrados de papel: peça para os alunos desenharem quadrados com lados de 1, 2, 3 e 4 cm, medirem o perímetro e a área, e preencherem uma tabela. Depois, pergunte: o que acontece quando o lado dobra?
• Gráfico colaborativo: cada grupo marca um ponto (lado, perímetro) e outro (lado, área) num mesmo plano. Comparar as duas curvas na lousa costuma gerar as melhores discussões.
• Hexágonos de tampinhas: monte hexágonos com palitos ou canudos e aumente o lado aos poucos, anotando o total de material gasto (perímetro) e o espaço coberto (área).
• Pergunta de elevador: "Se a prefeitura dobrar o lado de um canteiro quadrado, a área dobra?" A resposta errada e a discussão que vem depois valem mais que a certa.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão desse código precisa cobrar três coisas: a representação gráfica ou a leitura de um gráfico, a classificação do tipo de função e a justificativa da variação. Questões que pedem só o cálculo da área, sem nenhuma análise de como ela muda, deixam de fora o núcleo da habilidade.

Erros comuns que vejo em provas: confundir o expoente (tratar a área como linear), esquecer que o perímetro de um polígono regular é n·s, e achar que gráfico de função quadrática é reta. Se o aluno erra sempre no mesmo ponto, o problema geralmente está na leitura do gráfico, não na conta.

Questões prontas de EM13MAT506 (com gabarito comentado)

Questão 1: aumento da área de um canteiro quadrado

Uma prefeitura vai ampliar um canteiro quadrado de uma praça. O gráfico mostra a área do canteiro conforme a medida do lado. Com base nos dados, ao passar de 6 m para 10 m de lado, o aumento da área será de quantos metros quadrados?

• ❌ A) 28 m² — 28 m² é o aumento de 6 m para 8 m: 64-36.
• ❌ B) 36 m² — 36 m² é a área no lado 6 m, não o aumento.
• ❌ C) 48 m² — A diferença correta entre 100 e 36 não é 48.
• ✅ D) 64 m² — No gráfico, 100-36=64 m².
• ❌ E) 100 m² — 100 m² é a área final, não a variação.

Dica: calcule a área para cada lado e subtraia para encontrar o aumento.

Questão 2: lado de hexágono em que área e perímetro coincidem

Engenheiros de uma prefeitura conduziram estudo sobre o uso de ladrilhos regulares hexagonais em áreas de convívio. Cada ladrilho de lado s metros apresenta perímetro P(s)=6*s e área A(s)=(3*raiz quadrada de 3/2)*s^2. A equipe procurou identificar o ponto em que a medida da área de um ladrilho igualaria sua medida de perímetro, considerando s>0.

Com base no texto-base, determine o valor de s>0 para o qual A(s)=P(s).

• ✅ A) 4/v3 ˜2,309 m — Resolvendo 6s=(3v3/2)s^2 resulta s=6/(3v3/2)=4/v3˜2,309.
• ❌ B) 6/v3 ˜3,464 m — Divide 6 por v3 em vez de por 3v3/2, ignorando o coeficiente 3/2 da área.
• ❌ C) v3 ˜1,732 m — Confunde solução com o fator v3 usado na expressão da área, sem considerar o termo 3/2.
• ❌ D) 2/v3 ˜1,155 m — Divide 6 por 3v3 sem considerar o fator 1/2 em A(s), erro no coeficiente da área.
• ❌ E) 4,00 m — Adota valor inteiro sem considerar o componente v3, erro ao isolar s da equação.

Dica: iguale as expressões da área e do perímetro e resolva a equação para s, considerando s>0.

Questão 3: classificação da função perímetro de uma moldura

Numa oficina, a moldura quadrada de um painel tem lado variável x. O gráfico mostra o perímetro dessa moldura em função do lado. De acordo com o gráfico, como se classifica a função que relaciona perímetro e lado?

• ❌ A) Quadrática, pois os valores crescem com incrementos variáveis. — Função quadrática gera curva, não reta.
• ✅ B) Linear, pois o gráfico é uma reta que passa pela origem. — A reta pela origem indica proporcionalidade direta: P=4x.
• ❌ C) Constante, pois o perímetro não muda com o lado. — O perímetro aumenta quando o lado aumenta.
• ❌ D) Inversa, pois lados maiores geram perímetros menores. — O gráfico é crescente, não decrescente.
• ❌ E) Exponencial, pois o crescimento dobra a cada unidade. — Crescimento exponencial não forma reta nesse caso.

Dica: analise o gráfico para identificar o tipo de função que relaciona perímetro e lado.

Questão 4: comparando as taxas de variação de A(s) e P(s)

Dados de um estudo urbano indicam que artesãos de mosaicos projetam ladrilhos no formato de polígonos regulares para revestir praças. Para um ladrilho com n lados de comprimento s, o perímetro P(s)=n·s e a área A(s)=n·s^2/(4 an(pi/n)). Observou-se, em particular para n=8, que, ao dobrar o valor de s, o perímetro também dobra, mas a área se quadruplica. Os gráficos de P(s) e A(s) apresentados no mesmo sistema de coordenadas exibem curvas com comportamentos distintos: P(s) cresce de maneira constante, enquanto A(s) se torna cada vez mais inclinada à medida que s aumenta.

A partir do texto-base, compare as taxas de variação de A(s) e P(s) e conclua qual das afirmações descreve corretamente o comportamento dessas funções quando s aumenta.

• ❌ A) A(s) e P(s) crescem ambas de forma linear — Confunde crescimento; A(s) depende de s^2, não é linear como P(s).
• ❌ B) A(s) cresce de forma linear e P(s) cresce de forma quadrática — Inverte tipos de crescimento; P(s) é linear e A(s) é quadrática segundo a fórmula dada.
• ❌ C) A(s) cresce de forma constante e P(s) cresce de forma quadrática — Interpretação errada: A(s) não é constante, e P(s) não tem termo em s^2, é linear.
• ✅ D) A(s) cresce de forma quadrática e P(s) cresce de forma linear — A(s) ~ s^2 (quadrática) e P(s) ~ s (linear), conforme destaque do texto quando s dobra.
• ❌ E) A(s) decresce para valores maiores de s enquanto P(s) cresce linearmente — Afirmação incorreta: A(s) aumenta com s, não decresce, conforme a fórmula positiva em s^2.

Dica: compare as expressões algébricas e o comportamento gráfico das funções.

Questão 5: classificação de P(l) e A(l) de um hexágono

Por que o tamanho do lado de um polígono regular impacta de maneira diferente sua área e seu perímetro? Considere um hexágono regular cujo comprimento de cada lado é l cm. O perímetro P(l) desse hexágono é dado por P(l)=6·l. A área A(l) pode ser expressa como A(l)=(3·sqrt(3)/2)·l^2. À medida que l varia, P(l) e A(l) exibem comportamentos distintos em relação ao crescimento em função de l.

Analise o texto-base e identifique como se classificam graficamente as funções P(l) e A(l) em relação a l.

• ❌ A) O perímetro cresce de forma quadrática e a área cresce de forma linear — Inverte as funções: o perímetro é linear e a área é quadrática, não o contrário.
• ❌ B) O perímetro cresce de forma exponencial e a área cresce de forma quadrática — O perímetro não é exponencial em l, mas linear; somente a área é quadrática.
• ❌ C) Tanto o perímetro quanto a área crescem de forma quadrática — O perímetro depende de l^1, sendo linear, não quadrático.
• ❌ D) Tanto o perímetro quanto a área crescem de forma linear — A área depende de l^2, logo não cresce linearmente.
• ✅ E) O perímetro cresce de forma linear e a área cresce de forma quadrática — P(l)=6l é função linear; A(l)=(3sqrt(3)/2)l^2 é função quadrática, mostrando diferentes taxas de variação.

Dica: analise as expressões algébricas para identificar o tipo de crescimento das funções.

Questão 6: leitura de dados de hexágonos em três medições

Pesquisadores de geometria exploram medidas de um polígono regular de seis lados (hexágono) conforme variam o comprimento de cada lado, s (em unidades). Para três valores de s obtiveram estes resultados (dados ilustrativos):

s = 1: perímetro P = 6 e área A = 2,598; s = 2: perímetro P = 12 e área A = 10,392; s = 3: perímetro P = 18 e área A = 23,382.

Observa-se que o perímetro P(s) e a área A(s) podem ser representados graficamente em função de s.

Analise os dados e classifique o tipo de variação de P(s) e de A(s) em função de s: qual alternativa descreve corretamente essas variações?

• ❌ A) P(s) e A(s) crescem ambas de forma quadrática — Só a área cresce quadraticamente; o perímetro cresce na mesma razão de s, ou seja, linearmente.
• ❌ B) P(s) cresce de forma exponencial e A(s) cresce de forma linear — Não há base para variação exponencial no perímetro; P aumenta na mesma razão de s, indicando relação linear.
• ❌ C) P(s) cresce de forma quadrática e A(s) cresce de forma linear — Inverte as variações: perímetro cresce linearmente e a área cresce quadraticamente.
• ✅ D) P(s) cresce de forma linear e A(s) cresce de forma quadrática — O perímetro é proporcional a s (P=6s), logo linear, e a área é proporcional a s^2, logo quadrática.
• ❌ E) P(s) e A(s) crescem ambas de forma linear — A curva da área não é linear, pois A triplica mais que o triplo de s; cresce quadraticamente.

Dica: analise o crescimento dos valores de perímetro e área em função de s para identificar o tipo de variação.

Fechando e próximos passos

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As questões deste post servem de apoio ao seu planejamento; revise sempre o conteúdo à luz do seu currículo e da turma que você tem na frente.