Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT505)

Quando recebo o código EM13MAT505 no planejamento anual, a primeira reação é pensar: como eu transformo essa frase longa da BNCC em uma aula que os alunos realmente entendam? Já passei por isso várias vezes, principalmente quando a habilidade parece distante do dia a dia. Ladrilhamento do plano soa abstrato, mas basta olhar para o piso de uma escola ou de uma praça para perceber que ele está em todo lugar.

Neste post, eu compartilho como traduzo essa habilidade para a sala de aula, quais ideias funcionam sem material caro e um conjunto de questões prontas com gabarito comentado. Você pode usar tudo isso direto no seu planejamento.

O que a habilidade EM13MAT505 pede, de verdade?

Em linguagem de sala de aula, a habilidade pede que o aluno consiga cobrir uma superfície plana com polígonos sem deixar buracos nem sobreposições, e que, a partir dos casos que observa, consiga chegar a conclusões gerais sobre quais polígonos servem para isso. Não se trata só de decorar nomes de ladrilhamentos. O foco está em resolver problemas e generalizar padrões.

Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.

Na prática, isso significa que o aluno precisa fazer três movimentos: observar um padrão de piso ou de mosaico, analisar quais polígonos aparecem em torno de cada vértice e, por fim, formular uma conjectura que valha para outros casos. Se ele consegue dizer por que triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares cobrem o plano e pentágonos regulares não, ele já domina o essencial da habilidade. A conexão com ângulos internos e com a soma de 360 graus em torno de um ponto é o coração do assunto.

Como trabalhar EM13MAT505 em sala?

Estas são ideias que testei e que não exigem nada além de papel quadriculado, tesoura e, se possível, o celular dos próprios alunos:

• Caça aos padrões na escola: leve a turma para dar uma volta pelo pátio e fotografar pisos e azulejos. Cada grupo escolhe um padrão e identifica quais polígonos aparecem ao redor de um vértice.
• Recortes de papel: dê aos alunos triângulos, quadrados e hexágonos recortados de papel-cartão e peça que tentem preencher uma folha sem sobras. A frustração de ver um pentágono não encaixar é muito produtiva.
• Tabela de ângulos: monte com a turma uma tabela com o ângulo interno de cada polígono regular e pergunte quais divisões exatas de 360 graus aparecem. Assim a conjectura nasce dos próprios dados.
• Geometria dinâmica gratuita: se a escola tiver laboratório ou se os alunos puderem usar o celular, aplicativos gratuitos de geometria dinâmica deixam visualizar rapidamente os ladrilhamentos e testar hipóteses.
• Discussão sobre ladrilhamentos semirregulares: proponha que combinem dois ou mais polígonos regulares em torno de um vértice e verifiquem se a combinação fecha exatamente 360 graus.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão sobre EM13MAT505 não deve apenas pedir a resposta de memória. Ela precisa exigir que o aluno analise a sequência de polígonos em torno de um vértice, faça a soma dos ângulos ou use a estrutura do padrão para concluir algo. Questões que apresentam um desenho ou um texto-base com um arranjo real costumam funcionar melhor do que enunciados secos.

Os erros mais comuns que vejo em avaliações desse tema são: confundir ladrilhamento regular com semirregular, esquecer que o ângulo precisa dividir 360 graus exatamente, e achar que qualquer polígono que se encaixa lado a lado já forma um padrão válido, sem checar o que acontece nos vértices. Outro deslize frequente é tratar o problema como cálculo de área quando a pergunta é sobre composição e padrão.

Questões prontas de EM13MAT505 (com gabarito comentado)

A seguir estão seis questões reais do acervo do GeraProva alinhadas a este código. Leia cada uma, tente resolver antes de olhar o gabarito e use as explicações para discutir os erros com a turma.

Questão 1: classificando um mosaico com três polígonos

Artista plástico desenvolveu um mosaico utilizando três tipos de ladrilhos regulares, todos com lado de 10 cm: triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares. Em cada vértice do mosaico, ao redor dele, encontram-se, na sequência, um triângulo, um quadrado, um hexágono e outro quadrado. Essa disposição repete-se infinitamente, cobrindo todo o plano.

Analise o texto-base e classifique o tipo de ladrilhamento do plano descrito.

• ✅ A) Ladrilhamento semirregular do tipo 3.4.6.4 — a sequência ao redor de cada vértice é triângulo (3), quadrado (4), hexágono (6) e quadrado (4), definindo o tipo 3.4.6.4.
• ❌ B) Ladrilhamento regular do tipo 4.4.4.4 — esse usa apenas quadrados; o mosaico descrito envolve triângulos e hexágonos também.
• ❌ C) Ladrilhamento semirregular do tipo 3.12.12 — a sequência 3.12.12 inclui um triângulo e dois dodecágonos, não quadrados e hexágonos.
• ❌ D) Ladrilhamento regular do tipo 6.6.6 — esse usa apenas hexágonos regulares; aqui há três polígonos diferentes.
• ❌ E) Ladrilhamento semirregular do tipo 3.3.3.3.6 — a sequência combina quatro triângulos e um hexágono, não o arranjo 3-4-6-4.

Questão 2: identificando um arranjo com octógono

Recorte histórico: artesãos do século XVIII registraram em anotações a construção de pavimentos usando polígonos regulares. Eles combinavam dois quadrados e um octógono regular em torno de cada vértice, sem deixar espaços nem sobreposições, repetindo esse arranjo por todo o piso. Em outra área, descobriram que apenas triângulos equiláteros também cobriam totalmente a superfície de modo uniforme. Essas observações inspiraram estudos sobre como diferentes polígonos podem ladrilhar um plano.

Identifique o tipo de ladrilhamento descrito na combinação de dois quadrados e um octógono regular em volta de cada vértice.

• ❌ A) Ladrilhamento regular — usa apenas um tipo de polígono em cada vértice, o que não ocorre aqui.
• ❌ B) Ladrilhamento monoédrico — usa apenas um tipo de forma de tile, mas aqui há dois polígonos diferentes.
• ❌ C) Ladrilhamento irregular — não apresenta padrão uniforme, enquanto o descrito é uniforme e repetitivo.
• ✅ D) Ladrilhamento semirregular — a combinação de dois quadrados e um octógono na mesma disposição é um ladrilhamento semirregular (arquimediano).
• ❌ E) Ladrilhamento aperiódico — não repete padrão translacional, mas o arranjo descrito repete-se no plano.

Questão 3: preenchendo um painel com azulejos de formatos diferentes

ENEM - 2020. Azulejo designa peça de cerâmica vitrificada e/ou esmaltada usada, sobretudo, no revestimento de paredes. A origem das técnicas de fabricação de azulejos é oriental, mas sua expansão pela Europa traz consigo uma diversificação de estilos, padrões e usos, que podem ser decorativos, utilitários e arquitetônicos.

Disponível em: www.itaucultural.org.br. Acesso em: 31 jul. 2012.

Azulejos no formato de octógonos regulares serão utilizados para cobrir um painel retangular conforme ilustrado na figura.

Entre os octógonos e na borda lateral dessa área, será necessária a colocação de 15 azulejos de outros formatos para preencher os 15 espaços em branco do painel. Uma loja oferece azulejos nos seguintes formatos: 1 — Triângulo retângulo isósceles; 2 — Triângulo equilátero; 3 — Quadrado. Os azulejos necessários para o devido preenchimento das áreas em branco desse painel são os de formato.

• ❌ A) 1 — os triângulos retângulos isósceles não se encaixam corretamente nos espaços.
• ❌ B) 3 — os quadrados preenchem os espaços, mas não são os únicos necessários, pois os triângulos equiláteros também se encaixam.
• ❌ C) 1 e 2 — embora triângulos isósceles e equiláteros possam ser usados, a resposta correta deve incluir também os quadrados.
• ✅ D) 1 e 3 — os triângulos retângulos isósceles e os quadrados são adequados para preencher os espaços em branco do painel.
• ❌ E) 2 e 3 — os triângulos equiláteros não são necessários, pois os triângulos retângulos isósceles e os quadrados já atendem à necessidade.

Questão 4: losangos e a soma dos ângulos no vértice

Trabalhadores restauram o passeio de uma estação de transporte coletivo com peças de borracha reciclada em formato de losango. Cada peça tem todos os lados com a mesma medida, dois ângulos internos agudos de 70 graus e dois ângulos internos obtusos de 110 graus. No projeto, as peças são dispostas em fileiras, compartilhando lados; a fileira seguinte é deslocada em relação à anterior, mantendo o mesmo padrão. Antes da instalação, a equipe verificou se os encontros entre as peças poderiam preencher toda a superfície, sem deixar frestas ou provocar sobreposições.

Conclua, com base nos ângulos das peças e no padrão descrito, por que esse ladrilhamento pode preencher o plano sem frestas nos vértices.

• ❌ A) Porque, em cada vértice, um ângulo de 70 graus e dois de 110 graus completam uma volta — a soma seria 290 graus, produzindo uma lacuna.
• ✅ B) Porque, em cada vértice, dois ângulos de 70 graus e dois de 110 graus completam uma volta — dois agudos e dois obtusos somam 360 graus, preenchendo o entorno do vértice.
• ❌ C) Porque, em cada vértice, dois ângulos de 70 graus e um de 110 graus completam uma volta — esses três ângulos somam 250 graus, insuficientes para uma volta.
• ❌ D) Porque, em cada vértice, quatro ângulos de 70 graus completam uma volta — somam 280 graus, deixando uma fresta.
• ❌ E) Porque, em cada vértice, três ângulos de 110 graus completam uma volta — somam 330 graus, não 360 graus.

Questão 5: qual polígono regular não ladrilha o plano?

Dados ilustrativos: Um estudo de design de mosaicos regulares apresenta quatro polígonos regulares e suas medidas de ângulo interno: triângulo (60 graus), quadrado (90 graus), pentágono (108 graus) e hexágono (120 graus). Para cobrir uma superfície plana sem sobreposições ou falhas, o ângulo interno de cada polígono deve dividir 360 graus de forma exata.

Com base no texto-base, identifique qual polígono regular não pode formar um ladrilhamento regular do plano.

• ✅ A) Pentágono regular — o ângulo interno é de 108 graus, e 360 não é divisível por 108 de forma exata, então não fecha sem falhas ou sobreposição.
• ❌ B) Hexágono regular — como 360/120 = 3, três ângulos internos de hexágonos se encontram em um ponto, logo ele ladrilha o plano.
• ❌ C) Quadrado — como 360/90 = 4, quatro ângulos internos de quadrados se encontram em um ponto, logo ele ladrilha o plano.
• ❌ D) Triângulo regular — como 360/60 = 6, seis ângulos internos de triângulos se encontram em um ponto, logo ele ladrilha o plano.
• ❌ E) Todos os quatro polígonos — os ângulos de 60, 90 e 120 graus dividem 360 exatamente, então não é verdade que nenhum ladrilha.

Questão 6: quantas peças triangulares no piso da praça?

Pedestres admiravam o novo piso da praça central, composto por um padrão regular que alterna quadrados perfeitos e triângulos retângulos. Cada quadrado de 1 m de lado é acompanhado por dois triângulos retângulos de catetos de 1 m, formando um módulo repetido em todo o plano. A área total da praça é de 60 m², e o padrão ocupa-a completamente, sem sobra nem corte de peças.

Considere o padrão descrito no texto-base. Quantas peças triangulares são necessárias para revestir a praça inteira?

• ✅ A) 60 peças triangulares — cada módulo tem área 2 m² e 2 triângulos; 60 m² / 2 m² = 30 módulos, e 30 × 2 = 60 triângulos.
• ❌ B) 45 peças triangulares — resultado obtido por cálculo impreciso da área ou da composição do módulo.
• ❌ C) 90 peças triangulares — dobro de 45, resultado de erro de multiplicação ou de fator indevido.
• ❌ D) 30 peças triangulares — confunde o número de módulos (30) com o de triângulos; cada módulo tem 2 triângulos.
• ❌ E) 120 peças triangulares — equivale a usar 4 triângulos por módulo, ignorando a composição correta de 2 por módulo.

Próximos passos para a sua aula

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As questões deste post são de uso livre para o seu planejamento. Revise sempre os enunciados antes de aplicar em turma, e use o GeraProva como apoio para ganhar tempo, não como substituto do seu olhar de professor.