Atividades sobre funções exponenciais e logarítmicas com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, MACKENZIE, UEL, UERJ, UNESP (EM13MAT403)

Quando recebo no planejamento o código EM13MAT403, a primeira reação é a de sempre: preciso transformar essa frase oficial em aula de verdade e em uma avaliação que meça o que eu ensinei. Com funções exponenciais e logarítmicas isso costuma ser mais difícil do que parece, porque os alunos decoram propriedades e esquecem o que elas significam no gráfico.

Nas minhas turmas, o que mais funciona é partir de situações reais, como juros, meia-vida e crescimento de uma cultura, e só depois formalizar a notação. Foi assim que consegui fazer a turma enxergar a função logarítmica como a 'função que desfaz' a exponencial, e não como um bicho de sete cabeças.

O que a habilidade EM13MAT403 pede, de verdade?

Na prática, a BNCC pede que o aluno saiba relacionar as duas funções em tabelas e no plano cartesiano, identificando domínio, imagem e crescimento de cada uma. Em outras palavras: ele precisa olhar para uma tabela de valores ou para um gráfico e conseguir dizer se a função cresce ou decresce, qual é o intervalo de valores possíveis e por que a exponencial e a logarítmica são simétricas em relação à reta y = x.

"Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função."

Essa leitura exige mais do que calcular. O aluno precisa comparar representações, e é justamente aí que muitas avaliações ficam aquém: pedem apenas a resolução de uma equação, sem verificar se o estudante entende o comportamento da função.

Como trabalhar EM13MAT403 em sala?

Algumas ideias que testei e que cabem em qualquer escola, sem material caro:

• Peça que os alunos preencham uma tabela de valores para f(x) = 2^x e g(x) = log2(x) e depois marquem os pontos no papel quadriculado. A simetria em relação a y = x aparece sozinha.
• Use uma situação de juros compostos: quanto tempo leva para um capital dobrar? Essa pergunta leva direto ao logaritmo.
• Faça uma roda de discussão sobre domínio: por que o logaritmo não aceita zero nem números negativos? Os alunos gostam de defender hipóteses.
• Se houver celular ou computador disponível, um gráfico rápido em qualquer aplicativo de planilha ajuda, mas não é obrigatório. Eu faço muitas aulas só com lápis e régua.

Outra estratégia que funciona é pedir que o aluno descreva em palavras o que acontece com a função quando x aumenta. Quem consegue explicar costuma acertar a questão de análise gráfica.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão desse código precisa cobrar três coisas: a leitura de uma tabela ou gráfico, a identificação de uma característica (crescimento, domínio, imagem) e a relação entre as duas funções. Questões que só pedem o cálculo de um logaritmo isolado medem pouco do que a habilidade propõe.

Erros comuns que vejo nas provas que recebo de colegas: confundir a base com o argumento do logaritmo, esquecer que a imagem da exponencial é sempre positiva e tratar a razão de crescimento como se fosse uma soma constante. Vale checar se as alternativas incorretas representam esses equívocos reais, e não pegadinhas aleatórias.

Questões prontas de EM13MAT403 (com gabarito comentado)

Seguem seis questões do acervo do GeraProva alinhadas ao código, com gabarito comentado. Use-as como estão ou como modelo para criar outras.

Questão 1: decaimento radioativo e datação

Ao escavar um sítio neolítico, arqueólogos encontraram fragmentos ósseos e utilizaram datação por carbono-14. A concentração de carbono-14 em um organismo decai segundo N(t)=N0·(1/2)^(t/5730), onde t é o tempo em anos. Em laboratório, mediu-se a razão N(t)/N0 igual a 0,30. Dados ilustrativos: t=0 ? 1, t=5730 ? 0,50; t=11 460 ? 0,25; t=17 190 ? 0,125.

Analise o texto-base e determine, por meio da função logarítmica inversa, a idade aproximada do fragmento ósseo em anos.

• ❌ A) cerca de 4 200 anos — Desconsidera o decaimento exponencial completo e subestima o uso do logaritmo para N/N0=0,30.
• ✅ B) cerca de 9 955 anos — Resolve t=5730·log(0,30)/log(1/2)≈5730·1,737≈9 955 anos, usando log inverso da função exponencial.
• ❌ C) cerca de 8 200 anos — Considera apenas uma vez o período de meio-vida (5 730 anos) e adiciona incorretamente metade desse valor.
• ❌ D) cerca de 16 000 anos — Superestima o tempo por aplicar múltiplos períodos de meia-vida sem cálculo logarítmico preciso.
• ❌ E) cerca de 14 460 anos — Confunde o valor de N/N0=0,30 com 0,25 e usa t=11 460 anos de forma equivocada.

Dica de resolução: use a fórmula da meia-vida e logaritmos para calcular o tempo t.

Questão 2: isolando o expoente em uma poupança

— Se o saldo quase quadruplicar, como descubro quantos meses foram necessários? — perguntou uma participante de uma oficina de educação financeira. Para discutir a situação, a mediadora apresentou uma simulação de poupança sem novos depósitos: o valor inicial de R$ 250,00 é multiplicado por 1,08 a cada mês. Chamando de B o saldo após m meses, o modelo é B = 250 vezes (1,08)^m. Alguns resultados aparecem na tabela:

m | 0 | 6 | 12 | 18 — B (em R$) | 250,00 | 396,72 | 629,54 | 999,00

O grupo observou que, para consultar um saldo conhecido, seria necessário desfazer a operação de potenciação.

Analise a relação entre o modelo e a tabela e identifique a expressão que permite determinar m a partir de um saldo conhecido B.

• ✅ A) m = logaritmo na base 1,08 de (B/250) — Ao dividir o saldo por 250, obtém-se (1,08)^m. O logaritmo na base 1,08 fornece o expoente m.
• ❌ B) m = logaritmo na base 250 de (B/1,08) — Erro de escolha da base: 250 representa o saldo inicial, enquanto a base deve ser o fator mensal 1,08.
• ❌ C) m = logaritmo na base 1,08 de B — Erro de omissão do valor inicial: é necessário dividir B por 250 antes de aplicar o logaritmo.
• ❌ D) m = logaritmo na base 1,08 de (250/B) — Erro de inversão da razão: essa expressão produz o oposto de m para saldos superiores ao inicial.
• ❌ E) m = logaritmo na base (B/250) de 1,08 — Erro de troca entre base e argumento: essa expressão fornece o inverso de m, e não o número de meses.

Dica de resolução: use logaritmos para isolar o expoente m na equação.

Questão 3: campanha digital e a expressão de h em função de N

Por que uma campanha digital pode parecer crescer lentamente no início e, em poucas horas, alcançar grande circulação? Em uma simulação para treinar a equipe de uma plataforma cultural, foram registrados os valores da métrica N, que soma 12 compartilhamentos já existentes antes da divulgação aos novos compartilhamentos obtidos pela campanha. A tabela apresentou os seguintes pares: hora h igual a 0, N igual a 30; h igual a 1, N igual a 66; h igual a 2, N igual a 174; h igual a 3, N igual a 498. A equipe verificou que, a cada hora, a quantidade de novos compartilhamentos é triplicada. Para consultar registros futuros, pretende informar o valor de N e obter diretamente o número de horas transcorridas.

Analise os dados da simulação e determine a expressão logarítmica que permite obter h a partir da métrica N.

• ❌ A) h = log de base 3 de (N/18) — Erro de omissão do termo constante: usa N como se todos os compartilhamentos fossem produzidos pela campanha.
• ❌ B) h = log de base 3 de ((N - 18)/12) — Erro de troca de parâmetros: 12 é a quantidade fixa inicial, enquanto 18 é a quantidade variável no instante inicial.
• ❌ C) h = 18 log de base 3 de (N - 12) — Erro na inversão exponencial: o valor inicial 18 deve dividir a quantidade ajustada, e não multiplicar o logaritmo.
• ❌ D) h = log de base 18 de ((N - 12)/3) — Erro de identificação da base: 18 representa a quantidade inicial variável, mas a razão de crescimento observada é 3.
• ✅ E) h = log de base 3 de ((N - 12)/18) — Após retirar os 12 compartilhamentos iniciais, há 18 novos em h igual a 0 e triplicação por hora. Logo, (N - 12)/18 = 3^h.

Dica de resolução: use a relação de progressão geométrica e propriedades dos logaritmos para expressar h em função de N.

Questão 4: taxa de crescimento a partir do log10

Dados ilustrativos: um fundo de investimento apresentou a evolução de seu valor inicial de R$ 1 000 ao longo de três anos, conforme mostra a Tabela 1. A Tabela 2 exibe o log10 de cada valor. Observa-se que os pares (ano, log10(valor)) formam pontos alinhados.

Tabela 1 — Ano (t): 0, 1, 2, 3 | Valor (R$): 1 000, 1 100, 1 210, 1 331

Tabela 2 — Ano (t): 0, 1, 2, 3 | log10(valor): 3,00000, 3,04139, 3,08278, 3,12490

Analise as tabelas apresentadas no texto-base e determine a taxa de crescimento anual aproximada do investimento, em percentual.

• ❌ A) 4,14% ao ano — Diferença de log10 (0,04139) foi lida diretamente como porcentagem, sem converter de logaritmo.
• ❌ B) 9,53% ao ano — Aplicou 10^0,04-1≈0,0967 e arredondou incorretamente para 9,53% em vez de 10%.
• ✅ C) 10% ao ano — Como log10(1,1)=0,04139, tem-se 10^0,04139≈1,1, ou seja, 10% de crescimento anual.
• ❌ D) 12% ao ano — Escolheu valor arredondado além do intervalo de 0,04139, sem base no logaritmo apresentado.
• ❌ E) 11% ao ano — Interpretou 10^0,04139≈1,1 como 1,11 (11%), sem considerar arredondamento correto para 1,10.

Dica de resolução: use a relação entre logaritmos e crescimento percentual para calcular a taxa anual.

Questão 5: razão de crescimento em uma cultura de células

Por que algumas culturas de células crescem conforme um padrão exponencial? Em um experimento de biotecnologia, pesquisadores registraram diariamente o número de células de uma amostra. Para facilitar a comparação, também calcularam o log10 do total de células. Os dados obtidos estão na tabela a seguir (valores fictícios):

Dia (t): 0, 1, 2, 3, 4 | Número de células N(t): 100, 150, 225, 337,5, 506,25 | log10 N(t): 2,0000, 2,1761, 2,3522, 2,5284, 2,7046

Analise a tabela e determine a razão de crescimento diário aproximada da cultura de células.

• ❌ A) 1,25 — Valor não coincide com nenhuma razão N(t+1)/N(t) presente na tabela, indica cálculo equivocado.
• ❌ B) 0,50 — Erro comum por confundir decrescimento com aumento; 0,5 seria divisão de N(t) por log10 N(t).
• ❌ C) 2,00 — Erro por interpretar incorretamente log10 N como fator de crescimento, em vez de N(t+1)/N(t).
• ❌ D) 1,33 — Cálculo incorreto de razão entre N(2)/N(1) geraria ~1,5, não ~1,33; sugere erro de divisão por 225/150 errônea.
• ✅ E) 1,50 — A razão N(t+1)/N(t) é constante: 150/100 = 1,5, conforme mostra a tabela exponencial.

Dica de resolução: calcule a razão entre números consecutivos para encontrar o fator de crescimento.

Questão 6: identificando a tabela logarítmica

Analistas de TI acompanham o desempenho de um sistema de backup em nuvem ao longo de quatro semanas. Registraram, a cada semana, o tamanho dos arquivos salvos e, em seguida, associaram o tempo médio de restauração desses arquivos. Os dados obtidos estão no quadro:

Semana: 1, 2, 3, 4 | Tamanho do backup (GB): 2, 4, 8, 16

Tamanho do backup (GB): 2, 4, 8, 16 | Tempo de restauração (min): 10, 13, 16, 19

Os analistas querem entender como o tempo de restauração varia em função do tamanho do backup.

Identifique, no quadro, a tabela que representa uma função logarítmica.

• ✅ A) A segunda tabela, que relaciona tamanho do backup e tempo de restauração — O tempo aumenta de forma aditiva a cada dobra do tamanho, característica de função logarítmica em base 2.
• ❌ B) A primeira tabela, que relaciona semana e tamanho do backup — Nessa tabela, o tamanho duplica a cada semana, caracterizando crescimento exponencial, não logarítmico.
• ❌ C) Ambas as tabelas representam funções logarítmicas — A primeira mostra crescimento exponencial, pois dobra o valor; não é logarítmica.
• ❌ D) Nenhuma das tabelas representa função logarítmica — A segunda tabela exibe o comportamento típico de função logarítmica, com acréscimo constante por dobra de tamanho.
• ❌ E) Ambas as tabelas representam funções exponenciais — Somente a primeira tabela mostra comportamento exponencial; a segunda é logarítmica.

Dica de resolução: analise o crescimento dos valores para identificar a função logarítmica.

Próximos passos

Se você quer ver todas as questões que o acervo tem para esse código, acesse a consulta completa do código EM13MAT403. Para montar sua prova em poucos minutos, use o gerador de provas do GeraProva. Ainda não tem conta? Você pode fazer o cadastro grátis e testar sem compromisso.

As questões deste post são de apoio ao seu planejamento. Revise sempre o conteúdo antes de aplicar em sala, adaptando ao nível da sua turma. O GeraProva existe para economizar o seu tempo, não para substituir o seu olhar de professor.