Atividades sobre Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem com gabarito

Quando recebo o código EF07MA19 no planejamento, a primeira sensação é de que o assunto parece simples no papel, mas difícil de fazer os alunos entenderem na prática. Já vi muita turma decorar a regra de multiplicar por -1 sem perceber o que acontece com o desenho. Então precisei transformar essa habilidade em aula e em avaliação que realmente funcionassem na minha sala.

O que a habilidade EF07MA19 pede, de verdade?

Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

Na linguagem do nosso dia a dia, isso significa pegar uma figura desenhada na malha quadriculada, com vértices marcados por pares ordenados, e aplicar uma regra fixa: multiplicar o x e o y de cada vértice pelo mesmo número inteiro. Quando esse número é maior que 1, a figura cresce; quando está entre 0 e 1, encolhe; quando é negativo, a figura é invertida em relação à origem. O objetivo não é o aluno só calcular, e sim perceber que a figura nova mantém a forma, muda o tamanho ou a posição, e que cada vértice segue a mesma regra. Na prática, o aluno precisa conseguir ler um polígono no plano, aplicar a multiplicação com cuidado com os sinais e reconhecer o resultado no gráfico.

Como trabalhar EF07MA19 em sala?

Algumas ideias que funcionaram aqui, sem precisar de material caro:

• Malha no caderno: peço para desenharem um triângulo ou retângulo em uma malha quadriculada comum e marcarem os vértices com pares ordenados. Depois, cada dupla aplica a mesma multiplicação e compara os desenhos.
• Exemplo do adesivo: levo a ideia de ampliar um símbolo da escola, como o logotipo, e mostro que as coordenadas precisam ser multiplicadas pelo mesmo fator para a figura não ficar distorcida.
• Quem acerta o sinal? faço um jogo rápido no quadro, em que eu falo um fator negativo e os alunos dizem em qual quadrante o vértice vai parar.
• Simetria com a origem: peço que comparem uma figura com a sua versão multiplicada por -1 e percebam que ela fica espelhada em relação à origem, sem precisar nomear isso logo de início.
• Erro de propósito: entrego uma resolução errada, com um sinal trocado, e peço que a turma encontre o problema. Isso fixa muito mais do que corrigir a conta sozinho.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão desse código precisa cobrar que o aluno aplique a regra nas duas coordenadas de todos os vértices, e não apenas em um deles. Também vale testar se ele reconhece o efeito do fator (ampliação, redução ou inversão), porque é aí que mora o aprendizado real. Os erros mais comuns que vejo na avaliação são: multiplicar só uma coordenada, esquecer o sinal negativo, trocar x por y e deduzir o fator a partir de um único vértice. Por isso, nas questões abaixo, as alternativas erradas foram pensadas para representar exatamente esses equívocos.

Questões prontas de EF07MA19 (com gabarito comentado)

Questão 1: contorno do adesivo com fator -2

— Para preparar a versão ampliada do adesivo, vamos usar o mesmo ponto central da grade — informou a monitora da oficina de comunicação visual. No programa de desenho, o contorno de um símbolo foi registrado no plano cartesiano pelos vértices P(-1,2), Q(2,2), R(3,0) e S(-1,0). A grade tem sua origem no centro da tela. Para gerar a nova versão, o programa aplica a cada vértice o comando de multiplicar as duas coordenadas por -2. Antes de enviar o arquivo para impressão, os participantes conferem se as posições anotadas para o novo contorno respeitam esse comando em todos os vértices.

Analise o comando aplicado ao contorno e identifique o registro correto dos vértices da nova versão do adesivo.

• ❌ A) O novo contorno tem vértices P(1,-2), Q(-2,-2), R(-3,0) e S(1,0). — Erro de módulo: os sinais foram alterados, mas as coordenadas não foram multiplicadas por 2.
• ✅ B) O novo contorno tem vértices P(2,-4), Q(-4,-4), R(-6,0) e S(2,0). — Cada coordenada de cada vértice foi multiplicada por -2, como determina o comando informado no texto-base.
• ❌ C) O novo contorno tem vértices P(2,-4), Q(-4,-4), R(-6,0) e S(-2,0). — Erro de sinal em um vértice: a coordenada horizontal de S deveria ser positiva, pois -1 multiplicado por -2 resulta em 2.
• ❌ D) O novo contorno tem vértices P(-2,4), Q(4,4), R(6,0) e S(-2,0). — Erro de sinal: considera-se apenas a ampliação por 2 e ignora-se o fator negativo da multiplicação.
• ❌ E) O novo contorno tem vértices P(2,2), Q(-4,2), R(-6,0) e S(2,0). — Erro de multiplicação parcial: foram multiplicadas apenas as coordenadas horizontais, mantendo-se as verticais.

Dica de resolução: multiplique as coordenadas de cada vértice por -2 para encontrar as novas posições.

Questão 2: retângulo ampliado por 3

Em um mapa em malha quadriculada, um retângulo tem vértices D(0, 1), E(1, 1), F(1, 3) e G(0, 3). A cópia ampliada foi feita multiplicando-se as coordenadas por 3.

Como ficam os vértices do retângulo na cópia ampliada?

• ✅ A) D' (0, 3), E' (3, 3), F' (3, 9) e G' (0, 9). — Multiplicando cada coordenada por 3, as coordenadas x e y de cada vértice são ampliadas na mesma proporção.
• ❌ B) D' (0, 3), E' (1, 3), F' (1, 9) e G' (0, 9). — Multiplica as coordenadas y por 3, mas mantém as coordenadas x sem alteração.
• ❌ C) D' (0, 1), E' (3, 1), F' (3, 9) e G' (0, 9). — Multiplica as coordenadas x por 3, mas mantém as coordenadas y sem alteração.
• ❌ D) D' (0, 4), E' (3, 4), F' (3, 6) e G' (0, 6). — Multiplica as coordenadas x por 3, mas soma 3 às coordenadas y.
• ❌ E) D' (0, 3), E' (3, 3), F' (3, 6) e G' (0, 6). — Multiplica as coordenadas x por 3, mas multiplica as coordenadas y por 2.

Dica de resolução: multiplique cada coordenada de cada vértice por 3.

Questão 3: versão para o painel noturno

— A versão ampliada do desenho deve ficar centralizada, tomando a origem como referência — explicou a curadora de uma instalação interativa. No programa que controla o projetor, o contorno de um símbolo é formado pelo polígono de vértices P(-1,2), Q(2,2), R(3,-1) e S(0,-2). Para criar a versão destinada ao painel noturno, o programa deve multiplicar cada coordenada de cada vértice por -2. Quatro técnicos registraram conjuntos de coordenadas para enviar ao projetor. Apenas um desses registros respeita a regra programada e mantém a correspondência entre os vértices do símbolo.

Avalie os registros possíveis e identifique aquele que pode ser enviado ao projetor.

• ❌ A) P(1,-2), Q(-2,-2), R(-3,1) e S(0,2). — Erro no fator de multiplicação: foram invertidos os sinais, mas cada coordenada foi multiplicada por -1, e não por -2.
• ❌ B) P(-2,4), Q(4,4), R(6,-2) e S(0,-4). — Erro de sinal: esse registro multiplica as coordenadas por 2, mas ignora que o fator é negativo.
• ✅ C) P(2,-4), Q(-4,-4), R(-6,2) e S(0,4). — Cada coordenada foi multiplicada por -2: os valores dobram e têm seus sinais invertidos, conforme a regra do programa.
• ❌ D) P(-4,2), Q(-4,-4), R(2,-6) e S(4,0). — Erro de troca de coordenadas: o registro mistura os valores de x e y antes de aplicar a multiplicação por -2.
• ❌ E) P(2,4), Q(-4,4), R(-6,-2) e S(0,-4). — Erro parcial de sinal: as coordenadas x foram transformadas corretamente, mas as coordenadas y não tiveram o sinal invertido.

Dica de resolução: multiplique cada coordenada dos vértices por -2 e compare com os registros.

Questão 4: símbolo invertido em relação à origem

— Para que o mapa digital mostre uma versão invertida em relação à origem, cada coordenada do símbolo deve ser multiplicada por -1 — explicou a monitora da biblioteca ao revisar a planta acessível do prédio. O símbolo é um quadrilátero cujos vértices, na ordem, são P(2,-1), Q(4,-1), R(4,-3) e S(2,-3). Antes de publicar o mapa, ela pediu que quatro estudantes registrassem as novas coordenadas. O sistema aceitará apenas o registro em que a mesma multiplicação seja feita nos dois números de cada vértice, mantendo a correspondência entre P, Q, R e S.

Avalie os registros possíveis para o símbolo transformado e identifique o que pode ser aceito pelo sistema.

• ❌ A) O registro P(-2,-1), Q(-4,-1), R(-4,-3) e S(-2,-3). — Erro de aplicação parcial: apenas a primeira coordenada de cada vértice foi multiplicada por -1.
• ❌ B) O registro P(1,-2), Q(1,-4), R(3,-4) e S(3,-2). — Erro de troca de coordenadas: os números de cada par foram invertidos, em vez de serem multiplicados por -1.
• ✅ C) O registro P(-2,1), Q(-4,1), R(-4,3) e S(-2,3). — Cada coordenada foi multiplicada por -1: os valores positivos tornam-se negativos, e os negativos tornam-se positivos.
• ❌ D) O registro P(2,1), Q(4,1), R(4,3) e S(2,3). — Erro de aplicação parcial: apenas a segunda coordenada de cada vértice foi multiplicada por -1.
• ❌ E) O registro P(2,-1), Q(4,-1), R(4,-3) e S(2,-3). — Erro de desconsideração da transformação: as coordenadas originais foram mantidas sem multiplicação.

Dica de resolução: multiplique ambas as coordenadas de cada vértice por -1 e compare com os registros.

Questão 5: descobrindo o fator k do filtro

— O desenho do meu adesivo ficou diferente quando usei o filtro de “multiplicador k” — comentou um ilustrador ao revisar um arquivo feito em uma malha de coordenadas.

No rascunho original, ele marcou um polígono no plano cartesiano e anotou alguns vértices, como M(2,-1) e N(-1,2). Ao salvar a versão transformada, o aplicativo registrou que esses mesmos pontos passaram a ser M'(-6,3) e N'(3,-6).

O ilustrador lembrou que o filtro funciona sempre do mesmo jeito: escolhe-se um número inteiro k e, para cada vértice (x,y), o aplicativo gera (k*x, k*y), mantendo o mesmo k para todo o polígono.

Analise os pares de pontos do texto e conclua qual número inteiro k o aplicativo usou para transformar todos os vértices desse polígono.

• ❌ A) k = 3 — Erro de sinal: 2*3 = 6, mas o x virou -6. O k precisa ser negativo para trocar os sinais das coordenadas.
• ❌ B) k = -1 — Erro de reduzir a regra a “trocar sinais”: com k=-1, M iria para (-2,1), e não para (-6,3).
• ❌ C) k = 2 — Erro de sinal e fator: 2*2 = 4 e (-1)*2 = -2, mas o ponto imagem tem sinais trocados e valores diferentes.
• ❌ D) k = -2 — Erro de proporcionalidade: 2*(-2) = -4, não -6. O fator de escala não confere com os valores registrados.
• ✅ E) k = -3 — De M(2,-1) para M'(-6,3), multiplicou por -3; em N(-1,2) para N'(3,-6), o mesmo k = -3 confirma a regra.

Dica de resolução: compare as coordenadas originais e transformadas para encontrar o valor de k.

Questão 6: ponto da praça ampliado

Em um mapa quadriculado, o ponto de uma praça estava em (2, 3). Para uma ampliação da malha, suas coordenadas foram multiplicadas por 2.

— Quais são as novas coordenadas da praça?

• ❌ A) As novas coordenadas são (4, 3), pois apenas a primeira coordenada foi multiplicada por 2. — O aluno confundiu a regra da ampliação e transformou somente a abscissa, deixando a ordenada sem alteração.
• ❌ B) As novas coordenadas são (2, 6), pois apenas a segunda coordenada foi multiplicada por 2. — O aluno percebeu a ampliação, mas aplicou a transformação só em uma das coordenadas, ignorando que ambas deveriam ser multiplicadas.
• ❌ C) As novas coordenadas são (6, 4), pois as coordenadas foram trocadas de posição antes da ampliação. — O aluno trocou a ordem dos valores do par ordenado e ainda atribuiu a ampliação aos números invertidos, produzindo uma resposta incompatível com o comando.
• ✅ D) As novas coordenadas são (4, 6), pois cada coordenada foi multiplicada por 2. — Correta, porque a ampliação dobra separadamente a abscissa e a ordenada: 2 vira 4 e 3 vira 6.
• ❌ E) As novas coordenadas são (8, 12), pois a ampliação também dobra uma segunda vez o ponto original. — O aluno extrapolou a regra e aplicou um novo dobramento sem que o enunciado pedisse isso; a ampliação mencionada acontece uma única vez.

Dica de resolução: multiplique x e y pelo mesmo número.

Próximos passos

Depois de testar essas questões na sua turma, vale consultar a consulta completa do código EF07MA19, onde estão todas as questões alinhadas a essa habilidade. Se quiser montar sua própria prova com outros enunciados, use o o gerador de provas do GeraProva e, para começar sem custo, faça seu cadastro grátis.

Este material é um apoio para o seu planejamento: adapte os enunciados à sua turma e confira sempre o gabarito antes de aplicar a avaliação.