A equipe de desenvolvimento de uma empresa de embalagens térmicas analisa o custo de produção conforme a…

Questão

A equipe de desenvolvimento de uma empresa de embalagens térmicas analisa o custo de produção conforme a espessura x (em centímetros) dos isolantes. Experimentos e simulações indicaram que o custo unitário, em reais, pode ser aproximado por C(x)=5x^2 - 80x + 600, para valores de x entre 5 cm e 15 cm. Com valores menores, o isolamento não atende às normas, e com maiores, o material fica pesado e inviabiliza o transporte. A equipe deseja determinar a espessura que torna o custo o mais baixo possível. Com base no texto, identifique a espessura de revestimento que minimiza o custo unitário.

1. A) 10 cm
2. B) 12 cm
3. C) 8 cm
4. D) 7 cm
5. E) 5 cm

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. A função C(x) = 5x^2 - 80x + 600 tem coeficiente a = 5 positivo, então a parábola tem concavidade para cima e possui um ponto de mínimo, que é o vértice.
2. A abscissa do vértice é x_v = -b/(2a) = -(-80)/(2 · 5) = 80/10 = 8 cm.
3. Verifica-se que 8 está dentro do intervalo permitido, entre 5 cm e 15 cm, então o mínimo é de fato atingido nesse intervalo.
4. Confirmando pelo cálculo, C(8) = 5 · 64 - 80 · 8 + 600 = 320 - 640 + 600 = 280 reais, que é menor que os valores em outros pontos, como C(5) = 125 reais? Não: C(5) = 125 - 400 + 600 = 325 reais, e C(10) = 500 - 800 + 600 = 300 reais, ambos maiores que 280 reais.
5. Portanto, a espessura que minimiza o custo unitário é 8 cm, alternativa C, o que coincide com o gabarito oficial.
6. A alternativa A (10 cm) está errada, pois 10 é o ponto médio do intervalo e não o vértice da parábola. A alternativa B (12 cm) está errada, pois não corresponde ao vértice. A alternativa D (7 cm) está errada, pois está próxima do vértice mas não é o valor correto. A alternativa E (5 cm) está errada, pois é o limite inferior do intervalo e o custo ali (325 reais) é maior que o mínimo.

💡 Dica: Calcule o vértice da parábola para encontrar o mínimo custo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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