— Se aumentarmos a produção de cadeiras para 20 unidades por mês, nosso lucro tende a crescer, comentou o…

Questão

— Se aumentarmos a produção de cadeiras para 20 unidades por mês, nosso lucro tende a crescer, comentou o gerente de uma marcenaria artesanal. Para modelar esse comportamento, ele levantou os custos fixos e variáveis e elaborou a função de lucro mensal, em reais, em função da quantidade x de cadeiras produzidas: P(x)=-2x^2+80x-1000. Esse modelo permite prever como o lucro varia conforme a produção. Analise o texto-base e determine para qual quantidade de cadeiras produzidas o lucro mensal é máximo.

1. A) 16 cadeiras
2. B) 22 cadeiras
3. C) 24 cadeiras
4. D) 18 cadeiras
5. E) 20 cadeiras

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. A função P(x) = -2x^2 + 80x - 1000 é do segundo grau, com a = -2, b = 80 e c = -1000. Como a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice.
2. A abscissa do vértice é x_v = -b/(2a) = -80/(2 · (-2)) = -80/(-4) = 20. Logo, o lucro é máximo para x = 20 cadeiras.
3. Conferindo, P(20) = -2 · 400 + 80 · 20 - 1000 = -800 + 1600 - 1000 = -200. O valor do lucro máximo é -200 reais, ou seja, mesmo na melhor produção o modelo indica prejuízo. Isso não altera a resposta à pergunta, que pede apenas a quantidade.
4. Conferindo pela soma das raízes, o discriminante é 80^2 - 4 · (-2) · (-1000) = 6400 - 8000 = -1600, negativo, então a parábola não corta o eixo x; o vértice é o único ponto de interesse e confirma x = 20.
5. A alternativa A (16) não é o vértice, que está a 4 unidades de distância. A alternativa B (22) e a D (18) estão simetricamente afastadas do vértice e, portanto, dão lucro menor. A alternativa C (24) também está afastada do vértice e dá lucro menor.
6. Como o gabarito oficial é E, ele está correto e coincide com a conclusão obtida por conta própria.

💡 Dica: Calcule o vértice da parábola para encontrar o lucro máximo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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