Relatório interno de uma companhia teatral indica que o lucro diário L, em reais, em função do preço de cada…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Relatório interno de uma companhia teatral indica que o lucro diário L, em reais, em função do preço de cada ingresso x, em reais, é modelado pela função quadrática L(x)= -2x^2 + 80x - 500. Nesse modelo, x deve estar entre 0 e 40 para representar valores de preço praticáveis. O gráfico dessa função é uma parábola que ilustra como o lucro varia conforme o preço do ingresso. A partir do texto-base, identifique o par ordenado que corresponde ao ponto de máximo lucro no plano cartesiano.
- A) (20,300)
- B) (25,300)
- C) (10,300)
- D) (20,200)
- E) (20,400)
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A função é L(x) = -2x^2 + 80x - 500, com a = -2, b = 80 e c = -500. Como a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice.Passo 2: A abscissa do vértice é x_v = -b/(2a) = -80/(2·(-2)) = -80/(-4) = 20. Esse valor está dentro do intervalo praticável de 0 a 40 indicado no texto.Passo 3: Calculamos o lucro máximo substituindo x = 20 na função: L(20) = -2·20^2 + 80·20 - 500 = -2·400 + 1600 - 500 = -800 + 1600 - 500 = 300.Passo 4: Logo, o vértice é o ponto (20, 300), que é o par ordenado do máximo lucro. Esse resultado coincide com o gabarito oficial, A.Passo 5: Por que as outras estão erradas: na B, o x = 25 não é a abscissa do vértice; na C, o x = 10 também não corresponde ao vértice; na D, o x = 20 está certo, mas o lucro de 200 não é o valor de L(20); na E, o x = 20 está certo, mas o lucro de 400 também não corresponde a L(20).
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola para encontrar o ponto de máximo lucro.
Alternativa por alternativa
Vértice ocorre em x = -80/(2·-2) = 20 e L(20) = -2·400 + 1600 - 500 = 300.
O aluno provavelmente errou o cálculo de -b/(2a), obtendo 25 em vez de 20, ou se confundiu com outra fórmula para a abscissa do vértice.
Por que engana: Escolher um ponto que não corresponde ao vértice da parábola, confundindo valores de x e y.
O aluno pode ter dividido o coeficiente de x pelo termo errado ou usado uma fórmula incorreta, chegando a x = 10, e manteve o valor de lucro 300 sem verificar que ele não pertence a esse ponto.
O aluno acertou a abscissa x = 20, mas errou o cálculo de L(20), possivelmente por um erro de sinal ou de soma nos termos -800, +1600 e -500, chegando a 200.
O aluno acertou a abscissa x = 20, mas errou a soma final da função, obtendo 400 em vez de 300, provavelmente por descuido na subtração da constante -500.
Raio-X da questão
função quadrática e vértice
avaliacao
função quadrática básica · cálculo do vértice
Estude como encontrar o vértice de uma função quadrática e interpretar seu significado.
Escolher um ponto que não corresponde ao vértice da parábola, confundindo valores de x e y.
tomada_decisao
cotidiano
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