Quantos códigos de 4 dígitos distintos existem, se os dígitos não podem se repetir e o primeiro dígito não…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Quantos códigos de 4 dígitos distintos existem, se os dígitos não podem se repetir e o primeiro dígito não pode ser zero?
- A) 3024 códigos, somando as opções dos dígitos disponíveis.
- B) 8000 códigos, ignorando o primeiro dígito ser não-zero.
- C) 1200 códigos, pois permite repetir alguns dígitos.
- D) 4536
- E) 5040 códigos, apenas permutando todos os dígitos possíveis.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Os dígitos disponíveis são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, ou seja, dez dígitos, e nenhum pode se repetir dentro do código. Passo 2: A primeira posição não pode ser zero, então há 9 opções para ela (1 a 9). Passo 3: Depois de escolher o primeiro dígito, restam 9 dígitos disponíveis para as 3 posições seguintes, incluindo o zero, que agora pode ocupar qualquer uma delas. Como não há repetição, são 9 x 8 x 7 = 504 possibilidades para essas posições. Passo 4: Pelo princípio multiplicativo, o total é 9 x 504 = 4536 códigos. Passo 5: Esse resultado coincide com o gabarito oficial, D. Por que as outras estão erradas: a alternativa A calcula 9 x 8 x 7 x 6 = 3024, o que equivale a usar apenas os dígitos de 1 a 9 em todas as posições, inclusive nas demais, algo que a restrição não exige. A alternativa B usa 8000, um número que não corresponde a nenhuma contagem válida com as restrições do enunciado. A alternativa C usa 1200, um valor arbitrário que também não resulta de nenhum cálculo coerente com o enunciado, que admite no máximo 5040 códigos sem repetição. A alternativa E é 10 x 9 x 8 x 7 = 5040, que conta todos os códigos sem repetição, mas ignora a restrição de que o primeiro dígito não pode ser zero.
💡 Dica: Calcule as possibilidades para cada dígito considerando as restrições.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente exclui o zero de todas as posições, e não apenas da primeira, calculando 9 x 8 x 7 x 6. Ele aplica a restrição do zero de forma indevida ao código inteiro.
O aluno parece contar 10 x 10 x 10 x 8 e não modela corretamente a não repetição e a restrição do primeiro dígito. O número não corresponde a nenhuma contagem coerente com o enunciado.
Por que engana: Confundir a contagem de permutações com a contagem de combinações, não considerando a restrição do primeiro dígito.
O aluno interpreta que a repetição de dígitos é permitida, mas o enunciado diz o contrário. Além disso, o valor 1200 não resulta de nenhum cálculo com as regras dadas.
Primeira posição: 9 opções (1–9); segunda: 9 opções (0–9 menos o usado); terceira: 8; quarta: 7. Multiplicando: 9×9×8×7 = 4536.
O aluno calcula todas as permutações de 10 dígitos tomados 4 a 4, ou seja, 10 x 9 x 8 x 7, e esquece a restrição de que o primeiro dígito não pode ser zero.
Raio-X da questão
códigos de 4 dígitos
avaliacao
permutacoes e combinacoes · numeros e suas propriedades
Revisar combinações e permutações de números.
Confundir a contagem de permutações com a contagem de combinações, não considerando a restrição do primeiro dígito.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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