Projeto: um reservatório deve ter volume útil V = 125,0 m³. A forma será um cilindro reto com raio exterior r…

Questão

Projeto: um reservatório deve ter volume útil V = 125,0 m³. A forma será um cilindro reto com raio exterior r e altura h, sujeito à restrição estrutural h = 4r. Além disso, existe um núcleo cilíndrico central removido (vazio) de raio rc = r/4 e altura igual à altura total h. Determine r e h que atendem V = 125,0 m³. Apresente cálculos e resultados numéricos com três casas decimais.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Solução modelo: 1) Volume útil = volume do cilindro exterior menos volume do núcleo: V = pr²h - p(rc)²h = pr²h[1 - (rc/r)²]. Como rc = r/4, (rc/r)² = (1/4)² = 1/16. Assim V = pr²h·(15/16). 2) Usar restrição h = 4r: V = pr²(4r)·(15/16) = p·4·(15/16)·r³ = p·(60/16)·r³ = (15p/4)·r³. 3) Igualar ao volume exigido: (15p/4)·r³ = 125 ? r³ = (125·4)/(15p) = 500/(15p) = 100/(3p). 4) Calcule r: r = ?(100/(3p)). Numericamente, 100/(3p) ˜ 10,616, portanto r ˜ 2,192 m (três casas decimais). 5) Calcule h: h = 4r ˜ 4·2,192 ˜ 8,768 m (três casas decimais). Conclusão: r ˜ 2,192 m e h ˜ 8,768 m. Verificação opcional: compute V ˜ (15p/4)·(2,192)³ ˜ 125,0 m³ dentro de tolerância de arredondamento.

Explicação

A solução apresentada utiliza a fórmula do volume de um cilindro, considerando a subtração do volume do núcleo central, e aplica a restrição dada para expressar a altura em termos do raio. A igualdade do volume útil ao volume calculado permite encontrar uma relação entre o raio e a altura, resultando em valores numéricos que atendem à condição do problema. A verificação final confirma que os valores obtidos satisfazem a condição do volume desejado, garantindo a consistência dos cálculos.

Raio-X da questão

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