Um satélite descreve uma órbita elíptica em torno da Terra (massa M = 5,97×10^24 kg). O periastro está a r_p =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um satélite descreve uma órbita elíptica em torno da Terra (massa M = 5,97×10^24 kg). O periastro está a r_p = 7,00×10^6 m do centro da Terra e o apoastro a r_a = 4,20×10^7 m. Usando a equação de vis-viva v^2 = GM(2/r - 1/a) com G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2 e a = (r_p+r_a)/2, calcule a velocidade do satélite no periastro (m/s).
- A) v_p = 2,00×10^5 m/s; não depende da massa da Terra.
- B) v_p = 1,00×10^4 m/s; a = 3,00×10^7 m.
- C) v_p = 8,00×10^2 m/s; para a = r_p - r_a.
- D) v_p = 9,87×10^3 m/s
- E) v_p = 5,00×10^3 m/s; periastro é a distância até a lua.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule o semieixo maior: a = (r_p + r_a)/2 = (7,00×10^6 + 4,20×10^7)/2 = 4,90×10^7 / 2 = 2,45×10^7 m. Passo 2: Calcule GM = 6,67×10^-11 × 5,97×10^24 = 3,982×10^14 m^3/s^2. Passo 3: Calcule 2/r_p - 1/a = 2/(7,00×10^6) - 1/(2,45×10^7) = 2,857×10^-7 - 0,4082×10^-7 = 2,449×10^-7 m^-1. Passo 4: Calcule v^2 = GM × 2,449×10^-7 = 3,982×10^14 × 2,449×10^-7 = 9,752×10^7 m^2/s^2. Passo 5: Extraia a raiz quadrada: v = raiz de 9,752×10^7 = aproximadamente 9,875×10^3 m/s. Esse valor, com arredondamento para três algarismos significativos, fica entre 9,87 e 9,88×10^3 m/s; a alternativa D é a que mais se aproxima do resultado, e por isso confirmamos o gabarito, observando apenas que o último algarismo depende do critério de arredondamento. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A tem ordem de grandeza de 10^5 m/s, muito maior que o resultado, e afirma que a velocidade não depende da massa, quando a equação mostra que depende de GM. B usa a = 3,00×10^7 m, mas a média correta é 2,45×10^7 m. C usa a = r_p - r_a, que não é o semieixo maior, e o resultado de 8,00×10^2 m/s é muito pequeno. E toma periastro como distância à Lua, o que contradiz o enunciado, que define r_p como distância ao centro da Terra.
💡 Dica: Aplique a equação de vis-viva com os valores fornecidos.
Alternativa por alternativa
Errou o cálculo numérico, obtendo ordem de grandeza de 10^5 m/s, e acreditou que a velocidade não depende da massa da Terra, ignorando que GM aparece na equação de vis-viva.
Por que engana: Confundir a fórmula de vis-viva e aplicar incorretamente os valores de r_p e r_a, resultando em um cálculo errado da velocidade.
Calculou o semieixo maior de forma incorreta, obtendo a = 3,00×10^7 m em vez de 2,45×10^7 m, provavelmente por arredondamento indevido ou erro na soma de r_p e r_a.
Usou a = r_p - r_a, que é uma diferença de distâncias e não o semieixo maior, que é a média aritmética entre o periastro e o apoastro.
a = 2,45×10^7 m; GM = 6,67×10^-11·5,97×10^24 ˜ 3,98×10^14 m^3/s^2; v_p = sqrt[3,98×10^14(2/7,00×10^6 - 1/2,45×10^7)] ˜ 9,87×10^3 m/s.
Interpretou o periastro como a distância até a Lua, quando o enunciado define r_p como a distância ao centro da Terra, e por isso chegou a um valor de velocidade sem base nos dados.
Raio-X da questão
velocidade de satélite
avaliacao
equação de vis-viva · órbita elíptica
Revisar a equação de vis-viva e suas aplicações em órbitas.
Confundir a fórmula de vis-viva e aplicar incorretamente os valores de r_p e r_a, resultando em um cálculo errado da velocidade.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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