Considere a Terra (M_E = 5,97×10^24 kg) e a Lua (M_L = 7,35×10^22 kg) separadas por d = 3,84×10^8 m entre…

Questão

Considere a Terra (M_E = 5,97×10^24 kg) e a Lua (M_L = 7,35×10^22 kg) separadas por d = 3,84×10^8 m entre centros. (a) Calcule a posição do baricentro do sistema em relação ao centro da Terra usando r = d·M_L/(M_E+M_L). (b) Explique as consequências físicas desse baricentro estar interno ou externo à Terra para o movimento da Terra e para as marés (apresente cálculos e argumentos). Use G quando for necessário e unidades SI.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) Distância do centro da Terra ao baricentro: r = d·M_L/(M_E+M_L). Substituindo: r = 3,84×10^8·(7,35×10^22)/(5,97×10^24+7,35×10^22) ˜ 3,84×10^8·0,0122 ˜ 4,69×10^6 m. Comparação com o raio terrestre R_E ˜ 6,37×10^6 m: o baricentro está a 4,69×10^6 m do centro, ou seja, dentro da Terra (aprox. 1,68×10^6 m abaixo da superfície). (b) Consequências físicas: como o baricentro está interno à Terra, a Terra NÃO permanece rígida e imóvel; ela descreve um movimento de translação (‘‘wobble'') em torno desse ponto interno com mesma frequência orbital da Lua. Este movimento implica variações na aceleração de pontos na superfície terrestre, contribuindo para a deformação elástica (marés sólidas) e, combinadas com a força diferencial da gravidade lunar sobre diferentes pontos da hidrosfera, gerando as marés oceânicas. Quantitativamente, a aceleração diferencial (maré) pode ser estimada pela diferença das acelerações gravitacionais: ?a ˜ GM_L(1/(d-R)^2 - 1/(d+R)^2) para um ponto de raio R na superfície; o sinal e magnitude determinam amplitudes de maré locais. Além disso, o movimento do centro de massa conjunto facilita explicações de medidas observacionais: o deslocamento do centro de massa afeta cálculos de órbitas GPS e rastreamento orbital, exigindo correções em modelos dinâmicos e geofísicos. Observações finais: apresentar etapas algébricas e valores numéricos como acima, citar unidades (m, kg, s) e, se necessário, usar G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2 para estimativas de acelerações.

Explicação

O cálculo da posição do baricentro revela que ele está dentro da Terra, o que implica que a Terra não é um corpo rígido e experimenta um movimento de translação em torno desse ponto. Esse movimento resulta em variações na aceleração em sua superfície, contribuindo para a formação das marés, que são influenciadas tanto pela gravidade lunar quanto pela deformação elástica da Terra. Além disso, a posição do baricentro afeta medições precisas, como as de GPS, exigindo correções nos modelos dinâmicos.

Raio-X da questão

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