Um planeta esférico tem massa total M = 6,00×10^24 kg e raio R = 6,00×10^6 m. A densidade varia radialmente…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um planeta esférico tem massa total M = 6,00×10^24 kg e raio R = 6,00×10^6 m. A densidade varia radialmente segundo ?(r) = ?0(1 - r/R). (a) Determine ?0 em função de M e R. (b) Calcule a aceleração gravitacional g(r) em r = R/2. Use G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2 e mostre o procedimento integral para massa interna M_enc(r).
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
(a) M = ?_0^R 4p r'^2 ?0(1-r'/R) dr' = 4p?0[R^3/3 - R^3/4] = (p/3)?0 R^3 ? ?0 = 3M/(p R^3). (b) M_enc(r)=4p?0[ r^3/3 - r^4/(4R) ]. Para r=R/2: M_enc = (5/16)M. g(r)=G·M_enc / r^2 = G·(5/16)M /(R^2/4) = 4·G·(5/16)M / R^2 = (5/4)·G·M / R^2. Numéricamente: ?0 = 3·6,00×10^24/(p·(6,00×10^6)^3) ˜ 2,65×10^4 kg/m³; M_enc = (5/16)·6,00×10^24 = 1,875×10^24 kg; g(R/2)=4·G·M_enc/R^2 ˜ 13,9 m/s². Detalhes: calcular integrais, substituir r=R/2 e simplificar fatores numéricos como feito acima.
Explicação
A solução envolve a aplicação de conceitos de densidade variável e integração para determinar a massa interna do planeta, utilizando a relação entre a densidade e a massa total. O cálculo da aceleração gravitacional em um ponto específico é feito através da Lei da Gravitação Universal, levando em conta a massa interna encontrada. Os resultados numéricos são obtidos ao substituir os valores dados na fórmula, garantindo que as unidades e as constantes sejam corretamente aplicadas.
Raio-X da questão
densidade e gravitação
avaliacao
conceito de densidade · lei da gravitação universal
Revisar as fórmulas de densidade e aceleração gravitacional.
O aluno pode confundir a relação entre massa e densidade, não aplicando corretamente a fórmula para encontrar a densidade inicial ?0.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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