Num dia com declinação d = 20,0°N num local de latitude f = 40,0°N, considere um gnômon vertical de h = 1,00…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num dia com declinação d = 20,0°N num local de latitude f = 40,0°N, considere um gnômon vertical de h = 1,00 m. No instante de hora solar H = 30,0° (2 h após o meio-dia), determine a taxa de variação do comprimento da sombra ds/dt em m/min. Use s = h·cot A com A dada por sin A = sin f·sin d + cos f·cos d·cos H e dH/dt = 15°/h = 0,0043633 rad/min.
- A) ds/dt = 2,00×10^-3 m/min (aumento inadequado).
- B) ds/dt = -5,00×10^-3 m/min (sombra encolhendo rapidamente).
- C) ds/dt = 0,1 m/min (sombra aumentando numa taxa absurda).
- D) ds/dt = +10,0 m/min (sombra se estendendo de forma impossível).
- E) ds/dt ˜ +4,10×10^-3 m/min (a sombra está aumentando, ˜0,41 cm/min).
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Calcule sin A = sin f·sin d + cos f·cos d·cos H. Com f = 40,0°, d = 20,0° e H = 30,0°: sin 40° = 0,642788; sin 20° = 0,342020; cos 40° = 0,766044; cos 20° = 0,939693; cos 30° = 0,866025. Assim sin A = 0,219846 + 0,623489 = 0,843335. Passo 2: Calcule cos A = raiz de (1 - 0,843335^2) = 0,537389. Logo cot A = 0,537389 / 0,843335 = 0,637. Passo 3: Derive s = h·cot A em relação a A. Como h = 1,00 m, ds/dA = -h·csc^2 A = -1/sin^2 A = -1/0,711214 = -1,40605 m por radiano. Passo 4: Derive sin A em relação ao tempo. Como d(sin A)/dH = -cos f·cos d·sin H = -0,719846 × 0,5 = -0,359923, temos cos A · dA/dt = -0,359923 · dH/dt. Então dA/dt = -(0,359923 / 0,537389) × 0,0043633 = -0,669762 × 0,0043633 = -0,0029223 rad/min. Passo 5: Pela regra da cadeia, ds/dt = (ds/dA)·(dA/dt) = (-1,40605) × (-0,0029223) = +0,0041086 m/min, ou seja, cerca de +4,11×10^-3 m/min (o gabarito traz 4,10×10^-3, diferença apenas de arredondamento nas casas decimais). Passo 6: O sinal positivo indica que a sombra está aumentando, pois o Sol está se afastando do meio-dia e a altura solar diminui. Por isso a alternativa E é a correta. Passo 7: A alternativa A está errada porque o valor 2,00×10^-3 é metade do valor correto. A alternativa B está errada porque o sinal negativo indicaria sombra encolhendo, o que não ocorre à tarde. A alternativa C está errada porque 0,1 m/min é cerca de 25 vezes maior que o valor correto. A alternativa D está errada porque +10,0 m/min é uma ordem de grandeza muito acima do valor calculado.
💡 Dica: Calcule A usando a fórmula dada antes de encontrar ds/dt.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou no cálculo da derivada, por exemplo esquecendo o fator csc^2 A ou usando um valor de dA/dt muito pequeno, e obteve um valor de ordem 10^-3 que é cerca de metade do correto.
O aluno inverteu o sinal da taxa, concluindo que a sombra encolhe, talvez por confundir a direção do movimento aparente do Sol com a variação da sombra depois do meio-dia.
O aluno errou a ordem de grandeza, provavelmente ao converter a velocidade angular de 15°/h para rad/min ou ao esquecer a conversão de horas para minutos, obtendo um valor 25 vezes maior.
Por que engana: Confundir a taxa de variação da sombra, calculando um valor muito maior ou menor do que o esperado devido a erros na aplicação da fórmula.
O aluno usou a velocidade angular em graus por hora sem converter para radianos por minuto, ou não percebeu que a sombra de 1 m não pode crescer dez metros por minuto, obtendo um resultado fisicamente impossível.
Compute A from sinA; A˜57,2°. ds/dA = -h·csc^2A ˜ -1,412 m/rad. dA/dH = - (cosf·cosd·sinH)/cosA ˜ -0,6655. dH/dt=0,0043633 rad/min ? dA/dt˜-0,002904 rad/min ? ds/dt˜(-1,412)(-0,002904)=+0,00410 m/min.
Raio-X da questão
taxa de variação da sombra
avaliacao
taxa de variação · cotangente e ângulos
Revisar trigonometria aplicada a sombras e gnômon.
Confundir a taxa de variação da sombra, calculando um valor muito maior ou menor do que o esperado devido a erros na aplicação da fórmula.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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