Calcule o desvio gravitacional de frequência (redshift gravitacional) z para uma estrela compacta com massa M…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Calcule o desvio gravitacional de frequência (redshift gravitacional) z para uma estrela compacta com massa M = 1,50 M_sun (M_sun = 1,98×10^30 kg) e raio R = 12 km. Use z = (1-2GM/(Rc^2))^-1/2 - 1, c = 3,0×10^8 m/s, G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2.
- A) z ˜ 0,26 (desvio gravitacional).
- B) z ˜ 1,0 (superior ao máximo esperado)
- C) z ˜ 0,10 (subestimativa de redshift)
- D) z ˜ 0,50 (valores extremos)
- E) z ˜ -0,1 (valores negativos)
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Converter o raio para metros: R = 12 km = 12000 m. Passo 2: Calcular GM = 6,67×10^-11 × 1,5 × 1,98×10^30 = 1,98×10^20 (unidades SI). Passo 3: Calcular o termo 2GM/(Rc^2) = 2 × 1,98×10^20 / (12000 × (3,0×10^8)^2) = 3,96×10^20 / 1,08×10^21 ≈ 0,367. Passo 4: Calcular 1 - 0,367 = 0,633. Passo 5: Calcular a raiz quadrada de 0,633 ≈ 0,796 e depois o inverso, 1/0,796 ≈ 1,257. Passo 6: Subtrair 1: z ≈ 1,257 - 1 = 0,257, ou seja, z ≈ 0,26. Logo, a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a B (z ≈ 1,0) superestima muito o desvio, pois o valor real é bem menor que 1; a C (z ≈ 0,10) surge se o fator 2 de 2GM for esquecido; a D (z ≈ 0,50) não corresponde ao cálculo correto, já que omitir a raiz quadrada leva a cerca de 0,58; a E (z ≈ -0,1) é impossível fisicamente, pois o desvio gravitacional para o vermelho é sempre positivo, e aparece quando o expoente -1/2 é tratado com sinal errado.
💡 Dica: Substitua os valores na fórmula e resolva a equação.
Alternativa por alternativa
Com M=1,50·1,98×10^30=2,97×10^30 kg e R=1,2×10^4 m, 2GM/(Rc^2)˜0,367 ? z=(1-0,367)^-1/2-1˜0,26.
O aluno provavelmente trocou ou aproximou indevidamente a expressão, obtendo um valor próximo de 1 como se o desvio fosse comparável à unidade, sem verificar a ordem de grandeza do termo 2GM/(Rc^2), que é cerca de 0,37 e não próximo de 1.
Por que engana: O aluno pode confundir a fórmula do desvio gravitacional com a de outros tipos de redshift, aplicando incorretamente os valores de G, M ou R.
O aluno esqueceu o fator 2 do numerador (usando GM/(Rc^2) em vez de 2GM/(Rc^2)), o que reduz o termo para cerca de 0,18 e leva a z ≈ 0,10.
O aluno ignorou o expoente -1/2 e calculou apenas o inverso de (1 - 2GM/(Rc^2)) menos 1, chegando a cerca de 0,58, valor que ele arredondou para um número próximo de 0,50.
O aluno inverteu o sinal do expoente, calculando a raiz quadrada de 0,633 (≈0,796) menos 1, o que dá aproximadamente -0,20, e aceitou um resultado negativo sem questionar que o redshift gravitacional é sempre positivo.
Raio-X da questão
desvio gravitacional de frequência
avaliacao
cálculo de redshift gravitacional · lei da gravitação universal
Revisar a fórmula do desvio gravitacional e as constantes físicas envolvidas.
O aluno pode confundir a fórmula do desvio gravitacional com a de outros tipos de redshift, aplicando incorretamente os valores de G, M ou R.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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