Um sólido tetraédrico S tem vistas ortogonais: planta (xy) é o triângulo com vértices P(1,1), Q(5,1) e R(1,4)…

Questão

Um sólido tetraédrico S tem vistas ortogonais: planta (xy) é o triângulo com vértices P(1,1), Q(5,1) e R(1,4) (todos em z=0). Vista frontal (xz) é o triângulo com vértices (1,0), (5,0) e (1,5) no plano xz. Vista lateral direita (yz) é o triângulo com vértices (1,0), (4,0) e (1,5) no plano yz. Determine as coordenadas em R^3 dos quatro vértices do tetraedro e justifique por que essas coordenadas são únicas a partir das projeções dadas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Da planta (xy), os vértices da base em z=0 são: P(1,1,0), Q(5,1,0) e R(1,4,0) (x,y conforme dados, z=0). A vista frontal (xz) tem vértices (1,0), (5,0) e (1,5): os dois primeiros indicam que Q projeta em x=5,z=0 e P projeta em x=1,z=0; o vértice (1,5) indica que o ápice do tetraedro tem coordenada x=1 e z=5. A vista lateral (yz) tem vértices (1,0), (4,0) e (1,5): isto mostra que, projetando sobre yz, o ápice tem y=1 e z=5 (e R projeta em y=4,z=0). Combinando as informações, o ápice é (1,1,5). Logo os quatro vértices em R^3 são P(1,1,0), Q(5,1,0), R(1,4,0) e V(1,1,5). A unicidade decorre porque a planta fixa (x,y) de cada vértice na base e as projeções frontal e lateral fixam as componentes x ou y e a altura z do ápice; a interseção dessas informações determina unicamente cada coordenada.

Explicação

As coordenadas dos vértices são determinadas pelas interseções das projeções ortogonais, que fixam as posições em cada plano. A planta define a base do tetraedro em z=0, enquanto as vistas frontal e lateral determinam a altura e a posição do ápice. Essa combinação de informações garante que cada coordenada seja única e não ambígua.

Raio-X da questão

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