Uma escada de comprimento 13 m encosta em uma parede formando, inicialmente, um triângulo retângulo com altura…

Questão

Uma escada de comprimento 13 m encosta em uma parede formando, inicialmente, um triângulo retângulo com altura h e distância da base x (x^2 + h^2 = 13^2). Ao afastar a base 2 m da parede, a altura alcançada pela escada diminui 3 m, mantendo o mesmo comprimento. Modele o sistema de equações e determine x e h (apresente aproximações com duas casas decimais).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo: x^2 + h^2 = 169 e (x+2)^2 + (h-3)^2 = 169. Subtraindo as equações: (x+2)^2-x^2 + (h-3)^2-h^2 =0 ? 4x+4 -6h+9=0 ? 4x -6h +13=0 ? x = (6h-13)/4. Substituindo em x^2+h^2=169: ((6h-13)/4)^2 + h^2 =169 ? multiplicando por 16: (36h^2 -156h +169)+16h^2 =2704 ? 52h^2 -156h -2535 =0. Resolver a quadrática: h = [156 ± v(156^2 +4·52·2535)]/(104). Calculando, h ˜ 8.64 m (raiz positiva). Então x = (6h-13)/4 ˜ (6·8.64-13)/4 ˜ 9.71 m. Verificação: 9.71^2+8.64^2 ˜169.

Explicação

O modelo de equações foi construído a partir da relação do triângulo retângulo formado pela escada, utilizando o Teorema de Pitágoras. A manipulação algébrica permitiu expressar uma variável em termos da outra, facilitando a resolução da equação quadrática resultante. Os valores encontrados para x e h foram verificados, confirmando que satisfazem as condições do problema.

Raio-X da questão

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