(Dissertativa) Em um circuito série RLC, R = 30,0 O, L = 50,0 mH e C = 10,0 µF. Inicialmente o capacitor está…

Questão

(Dissertativa) Em um circuito série RLC, R = 30,0 O, L = 50,0 mH e C = 10,0 µF. Inicialmente o capacitor está carregado com V0 = 20,0 V e a chave fecha em t = 0, permitindo a descarga pelo circuito. a) Determine se o regime é subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido. b) Escreva a expressão para a carga Q(t) no capacitor (com constantes) e calcule numericamente Q(t) e a corrente i(t) = -dQ/dt em t = 2,00 ms. Use gabarito com todos os passos e unidades SI.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Dados: R = 30,0 O; L = 50,0 mH = 0,0500 H; C = 10,0 µF = 10,0×10^-6 F; V0 = 20,0 V. Q0 = C·V0 = 10e-6·20 = 2,00×10^-4 C. Parâmetros: a = R/(2L) = 30/(2·0,050) = 300 s^-1. ?0 = 1/v(LC) = 1/v(0,050·10e-6) = 1/v(5,0e-7) = 1,414×10^3 s^-1. Como a < ?0 (300 < 1414), o regime é subamortecido. ?_d = v(?0^2 - a^2) = v(1,414^2×10^6 - 300^2) ˜ 1,381×10^3 s^-1. Solução geral (condições Q(0)=Q0, i(0)=0): Q(t) = Q0 e^{-a t} [cos(?_d t) + (a/?_d) sin(?_d t)]. Substitua valores para t = 2,00 ms = 2,00×10^-3 s: e^{-a t} = e^{-300·0,002} = e^{-0,600} ˜ 0,54881. ?_d t = 1,381×10^3 · 0,002 = 2,762 rad. cos(2,762) ˜ -0,929; sin(2,762) ˜ 0,369; a/?_d ˜ 300/1381 ˜ 0,2171. Portanto o fator entre colchetes = -0,929 + 0,2171·0,369 ˜ -0,8489. Q(t) = 2,00×10^-4 · 0,54881 · (-0,8489) ˜ -9,32×10^-5 C ˜ -93,2 µC (sinal indica polaridade invertida em relação à inicial). A corrente i(t) = -dQ/dt pode ser obtida por derivação; forma conveniente: i(t) = Q0 e^{-a t} sin(?_d t) (?0^2/?_d). Calcule ?0^2/?_d = (1,414×10^3)^2/1,381×10^3 ˜ 1,447,6×10^3 s^-1. Então i(t) = 2,00×10^-4 · 0,54881 · 0,369 · 1,447,6×10^3 ˜ 5,87×10^-2 A ˜ 58,7 mA. Resultado final (unidades SI): regime subamortecido; Q(2,00 ms) ˜ -9,32×10^-5 C (-93,2 µC); i(2,00 ms) ˜ 5,87×10^-2 A (58,7 mA).

Explicação

A análise do regime do circuito é feita comparando a constante de amortecimento com a frequência natural, o que indica que, neste caso, o circuito é subamortecido. A expressão para a carga e a corrente é derivada da solução geral da equação diferencial do circuito RLC, levando em conta as condições iniciais. Os cálculos numéricos confirmam os valores de carga e corrente em t = 2,00 ms, respeitando as unidades do Sistema Internacional.

Raio-X da questão

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