Um planeta esférico tem massa M = 4,00×10^24 kg e raio R = 6,00×10^6 m. Determine a velocidade angular mínima…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um planeta esférico tem massa M = 4,00×10^24 kg e raio R = 6,00×10^6 m. Determine a velocidade angular mínima ?_min (rad/s) tal que a aceleração centrífuga na linha do equador cancela a gravidade: GM/R^2 = ?^2 R. Use G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2. Calcule também o período T = 2p/? em horas.
- A) ?_min = 5,00×10^-2 rad/s; T = 125 s
- B) ?_min = 1,11×10^-3 rad/s; T = 5,66×10^3 s ˜ 1,57 h.
- C) ?_min = 1,00 rad/s; T = 6,28 s
- D) ?_min = 2,00 rad/s; T = 3,14 s
- E) ?_min = 3,00×10^-3 rad/s; T = 1,00 h
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Igualar a aceleração gravitacional à aceleração centrípeta na linha do equador, pois a aceleração centrífuga deve cancelar a gravidade: GM/R^2 = ω^2 R, logo ω^2 = GM/R^3 e ω = raiz de (GM/R^3).
- Calcular a gravidade na superfície: GM = 6,67×10^-11 × 4,00×10^24 = 2,668×10^14. R^2 = (6,00×10^6)^2 = 3,60×10^13. Assim GM/R^2 = 2,668×10^14 / 3,60×10^13 ≈ 7,41 m/s^2.
- Obter ω^2 dividindo a gravidade pelo raio: ω^2 = 7,41 / 6,00×10^6 ≈ 1,235×10^-6 (rad/s)^2.
- Extrair a raiz quadrada: ω = raiz de 1,235×10^-6 ≈ 1,11×10^-3 rad/s. Essa é a velocidade angular mínima pedida.
- Calcular o período: T = 2π/ω = 6,283 / 1,111×10^-3 ≈ 5,65×10^3 s. Dividindo por 3600 s/h, T ≈ 1,57 h.
- Conferir com o gabarito oficial: a alternativa B traz exatamente ω ≈ 1,11×10^-3 rad/s e T ≈ 5,66×10^3 s ≈ 1,57 h, coincidindo com meu resultado (a diferença está apenas no arredondamento).
- Por que as outras estão erradas: A tem ω muito grande para um planeta com esses dados; C e D trazem velocidades angulares de ordem de 1 rad/s ou mais, incompatíveis com a gravidade de 7,41 m/s^2; E tem ω correto em ordem de grandeza errada e T de 1 h que não corresponde a ω = 3,00×10^-3 rad/s.
💡 Dica: Aplique a fórmula da aceleração centrífuga e resolva para a velocidade angular.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou o cálculo numérico ao extrair a raiz ou ao manipular as potências de 10 em GM/R^3, chegando a um ω cerca de 45 vezes maior que o correto. O período 125 s decorre desse valor incorreto.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre aceleração centrífuga e gravidade, aplicando incorretamente a fórmula.
Igualando gravidade e aceleração centrífuga: GM/R^2 = ?^2 R ? ? = v(GM/R^3). Substituindo G=6,67×10^-11, M=4,00×10^24, R=6,00×10^6 obtém-se ?˜1,11×10^-3 rad/s; T=2p/?˜5,66×10^3 s (˜1,57 h).
O aluno provavelmente assumiu que a velocidade angular de um planeta é da ordem de 1 rad/s, intuição de que giros são rápidos, e não fez o cálculo com os dados fornecidos. Esse valor não depende de M, R ou G.
O aluno provavelmente usou a intuição do cotidiano de que objetos giram rapidamente e chutou um valor de ω ignorando a relação GM/R^2 = ω^2 R. O T de 3,14 s é obtido de ω = 2 rad/s.
O aluno provavelmente acertou a ordem de grandeza mas errou o arredondamento ou a extração da raiz, obtendo ω = 3,00×10^-3 rad/s. Depois converteu o período de forma aproximada e arbitrária para 1,00 h, sem conferir a relação T = 2π/ω.
Raio-X da questão
aceleração centrífuga
avaliacao
aceleração centrífuga · lei da gravitação universal
Revisar as leis da gravitação e aceleração centrífuga.
O aluno pode confundir a relação entre aceleração centrífuga e gravidade, aplicando incorretamente a fórmula.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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