Uma placa de alumínio com massa m = 0,500 kg e calor específico c = 9,0×10^2 J/(kg·K) está inicialmente a T0 =…

Questão

Uma placa de alumínio com massa m = 0,500 kg e calor específico c = 9,0×10^2 J/(kg·K) está inicialmente a T0 = 120 °C. É exposta ao ar a Ta = 20 °C; a área efetiva é A = 0,050 m² e o coeficiente convectivo vale h = 25 W/(m²·K). Despreze radiação. Usando a lei de resfriamento de Newton (dT/dt = -(hA)/(m c)·(T-Ta)), determine: a) expressão T(t); b) tempo para atingir T = 40 °C; c) descreva qualitativamente o gráfico T versus t (forma e assíntota). Forneça cálculos e equações.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Lei de Newton: dT/dt = -k (T-Ta) com k = hA/(m c). Aqui hA = 25·0,05 = 1,25 W/K; m c = 0,500·9,0×10^2 = 450 J/K ? k = 1,25/450 = 0,0027778 s?¹. Solução: T(t)=Ta+(T0-Ta)·e^{-k t} = 20+(120-20)e^{-0,0027778 t} = 20+100 e^{-0,0027778 t} (°C). Para T=40 °C: 40-20 =100 e^{-k t} ? e^{-k t}=0,2 ? -k t = ln0,2 = -1,6094 ? t = 1,6094/0,0027778 ˜ 579 s ˜ 9,66 min. Gráfico: decaimento exponencial monoexponencial de T(t) partindo de 120 °C em direção assintótica a Ta = 20 °C; declive inicial maior, depois aproximação assintótica lenta.

Explicação

A solução utiliza a lei de resfriamento de Newton para modelar a variação da temperatura ao longo do tempo, considerando as condições iniciais e os parâmetros do sistema. A expressão encontrada para T(t) reflete um decaimento exponencial, que é característico desse tipo de fenômeno, e o cálculo do tempo para atingir 40 °C é feito isolando t na equação. O gráfico resultante ilustra como a temperatura decai rapidamente no início e, em seguida, se aproxima lentamente da temperatura ambiente, evidenciando o comportamento assintótico.

Raio-X da questão

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