Mostre que a velocidade instantânea de variação do comprimento da sombra de um gnômon vertical de altura h é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Mostre que a velocidade instantânea de variação do comprimento da sombra de um gnômon vertical de altura h é nula exatamente ao meio-dia solar. Use s = h·cot A e a expressão sen A = senf·send + cosf·cosd·cosH, onde H é o ângulo horário (H = 0 ao meio-dia).
- A) ds/dt = 5 m/s ao meio-dia solar.
- B) ds/dt = 0 m/s ao meio-dia solar.
- C) ds/dt = 9.8 m/s ao meio-dia solar.
- D) ds/dt = -1 m/s ao meio-dia solar.
- E) ds/dt = 0.5 m/s ao meio-dia solar.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Escreva a relação geométrica. Para um gnômon vertical de altura h, a sombra s e a altura angular do Sol A satisfazem s = h·cot A. Assim, s depende de t apenas através de A(t).
- Derive s em relação ao tempo pela regra da cadeia. Como d(cot A)/dA = -csc^2 A, temos ds/dt = -h·csc^2 A·(dA/dt). Como h é constante e csc^2 A é sempre positivo (para 0 < A < 180 graus), ds/dt se anula exatamente quando dA/dt = 0.
- Derive a expressão do Sol, sen A = senf·send + cosf·cosd·cosH, em relação ao tempo. Como f (latitude), d (declinação) e a declinação são constantes ao longo do dia, obtemos cosA·(dA/dt) = -cosf·cosd·senH·(dH/dt).
- Avalie no meio-dia solar, H = 0. Então senH = 0, portanto cosA·(dA/dt) = 0. Como cosA não é zero (o Sol não está no zênite com A = 90 graus em caso geral), segue dA/dt = 0.
- Substituindo no resultado do Passo 2, ds/dt = -h·csc^2 A·0 = 0 metros por segundo ao meio-dia solar. Isso significa que a sombra atinge seu comprimento mínimo nesse instante, onde a variação instantânea é nula.
- Comparando com o gabarito oficial, a alternativa B está correta e coincide com a resolução. As outras estão erradas: A dá 5 m/s, valor não nulo que não surge da derivada; C dá 9.8 m/s, que é a aceleração da gravidade e não tem relação com a sombra; D dá -1 m/s, um valor negativo que indicaria encolhimento contínuo ao meio-dia, o que contradiz o fato de o mínimo ocorrer nesse instante; E dá 0.5 m/s, valor pequeno mas não zero, que não atende à condição de extremo.
💡 Dica: Analise as expressões dadas e a relação entre ângulos.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que a sombra cresce ou decresce com velocidade constante e não nula ao meio-dia, sem derivar a expressão de s em função de A e de H.
Por que engana: O aluno pode confundir a variação da sombra com a velocidade média, calculando um valor diferente de zero ao meio-dia.
ds/dt = -h·csc²A·dA/dt. Da relação senA = senf·send + cosf·cosd·cosH, dA/dt ? -sinH; para H=0 (meio-dia) sinH=0 ? dA/dt=0; logo ds/dt=0.
O aluno associa a variação da sombra a uma constante física conhecida, como g = 9.8 m/s^2, confundindo taxa com aceleração e ignorando a dependência de s com o ângulo solar.
O aluno imagina que a sombra está encolhendo continuamente até o meio-dia e continua a encolher, lendo o enunciado como se o mínimo ocorresse depois de uma taxa negativa, em vez de um ponto de inversão de sinal.
O aluno acredita que a derivada é apenas pequena ao meio-dia, em vez de nula, por intuição de que a sombra muda quase nada nesse instante, sem verificar que dA/dt = 0 exatamente em H = 0.
Raio-X da questão
velocidade da sombra
avaliacao
velocidade instantânea · cotangente e ângulos
Revisar a relação entre ângulos solares e a altura do gnômon.
O aluno pode confundir a variação da sombra com a velocidade média, calculando um valor diferente de zero ao meio-dia.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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