Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, traça-se a altura CD até a hipotenusa AB. Se AD = 9 cm e…

Questão

Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, traça-se a altura CD até a hipotenusa AB. Se AD = 9 cm e DB = 16 cm, determine as medidas dos catetos AC e BC e justifique usando semelhança de triângulos e o teorema de Pitágoras.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja AB = AD + DB = 9 + 16 = 25 cm. Pela semelhança entre os triângulos formados pela altura CD, tem-se as relações geométricas: AC² = AD·AB e BC² = DB·AB. Assim AC = v(9·25) = v225 = 15 cm e BC = v(16·25) = v400 = 20 cm. Alternativamente, pode-se verificar que AC²+BC² = 15²+20² = 225+400 = 625 = 25² = AB², conferindo o teorema de Pitágoras.

Explicação

A solução utiliza a semelhança de triângulos, onde a altura CD divide o triângulo retângulo em dois triângulos menores, permitindo a aplicação das relações AC² = AD·AB e BC² = DB·AB. Os valores obtidos para AC e BC são confirmados pelo teorema de Pitágoras, que assegura que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim, a consistência entre as duas abordagens valida a resposta.

Raio-X da questão

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