(DISSERTATIVA) Seja o triângulo ABC e a reta DE paralela a BC com D em AB e E em AC. Defina k = AD/AB. Prove…

Questão

(DISSERTATIVA) Seja o triângulo ABC e a reta DE paralela a BC com D em AB e E em AC. Defina k = AD/AB. Prove que AE/AC = k e que DE = k·BC. Em seguida, deduza o caso especial em que k = 1/2 (segmento médio) e explique por que DE é paralelo à base e mede metade de BC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere triângulos ADE e ABC. Como DE ? BC, os ângulos correspondentes são congruentes: ?DAE = ?BAC e ?DEA = ?BCA; portanto, ?ADE ~ ?ABC por ângulos. 2) Da semelhança segue que razões de lados correspondentes são iguais: AD/AB = AE/AC = DE/BC. Pelo enunciado, AD/AB = k; assim AE/AC = k e DE/BC = k, logo DE = k·BC. 3) Caso k = 1/2: AD = (1/2)AB e AE = (1/2)AC; pela igualdade DE = k·BC tem-se DE = (1/2)BC. Geometricamente, quando k = 1/2 os pontos D e E são pontos médios dos lados AB e AC, e a reta que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralela ao terceiro lado e tem comprimento igual à metade deste. Conclusão: a semelhança justifica ambas as igualdades e o caso do segmento médio.

Explicação

A solução utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os lados correspondentes, demonstrando que as proporções se mantêm. Ao considerar o caso em que k = 1/2, a explicação revela que, ao conectar os pontos médios dos lados, a reta resultante é paralela à base e mede metade do seu comprimento. Essa abordagem fundamenta a relação entre as partes do triângulo e reforça a propriedade dos segmentos médios.

Raio-X da questão

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