Durante uma apresentação regional, um dançarino de massa m = 68 kg e altura considerada h = 1,75 m gira em…

Questão

Durante uma apresentação regional, um dançarino de massa m = 68 kg e altura considerada h = 1,75 m gira em torno do próprio eixo vertical com velocidade angular inicial ?1 = 1,20 rad/s. Modele o momento de inércia em relação ao eixo vertical como I = k·m·h², onde k depende da distribuição das massas. Se, ao recolher os braços, o coeficiente efetivo k passa de k1 = 0,08 para k2 = 0,05, calcule: (a) a nova velocidade angular ?2 por conservação do momento angular L = I·?; (b) as energias cinéticas rotacionais inicial e final K1 e K2 (K = ½ I ?²) e a variação ?K = K2 - K1; (c) explique a origem física da variação de energia e se há conversão de energia interna para cinética durante a manobra. Forneça cálculos e interpretação.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Dados: m = 68 kg, h = 1,75 m ? h² = 3,0625 m². I1 = k1·m·h² = 0,08·68·3,0625 = 16,66 kg·m². I2 = k2·m·h² = 0,05·68·3,0625 = 10,41 kg·m². 2) Conservação do momento angular: I1·?1 = I2·?2 ? ?2 = I1·?1 / I2 = 16,66·1,20 / 10,41 ˜ 1,92 rad/s. 3) Energias: K1 = ½ I1 ?1² = 0,5·16,66·(1,20)² = 0,5·16,66·1,44 ˜ 12,0 J. K2 = ½ I2 ?2² = 0,5·10,41·(1,92)² = 0,5·10,41·3,686 ˜ 19,2 J. ?K = K2 - K1 ˜ 7,2 J (aumento). 4) Interpretação: o momento angular L é conservado na ausência de torques externos significativos, por isso ? aumenta quando I diminui. O aumento da energia rotacional ?K não contradiz a conservação do momento angular porque energia não é conservada pela mesma restrição; a energia extra provém do trabalho realizado pelos músculos do dançarino ao puxar os braços para dentro (energia química ? trabalho interno ? energia cinética rotacional). Parte pode também dissipar-se em calor; a manobra exige energia metabólica para realizar o trabalho interno que reduz o momento de inércia e aumenta a velocidade de rotação.

Explicação

A solução aborda a conservação do momento angular, mostrando como a diminuição do momento de inércia resulta em um aumento da velocidade angular. Além disso, calcula as energias cinéticas rotacionais antes e depois da manobra, evidenciando a variação de energia e sua origem no trabalho muscular do dançarino. A explicação também destaca que a energia não se conserva da mesma forma que o momento angular, permitindo a conversão de energia interna em energia cinética rotacional.

Raio-X da questão

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